Bonjour/Bonsoir,
En pièce jointe l’énoncé de l’exercice et les réponses.
J’ai besoin, svp, de savoir si mes réponses aux Q1 et Q2 sont justes, et d’un peu d’aide pour la question 3. J’ai émis l’hypothèse de récurrence et tenté de calculer P(0) et P(1) mais le résultat est 1 pour les deux, je ne sais pas si c’est bon, et si oui, comment continuer.
Raisonnement par récurrence
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Sayna
Raisonnement par récurrence
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sos-math(21)
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Re: Raisonnement par récurrence
Bonjour,
tes calculs sont corrects pour les deux premières questions.
Pour la récurrence, n'oublie pas que tu as une seule propriété \(P(n)\) qui se compose de deux égalités :
\(P(n)\,:\, u_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]\kern0.2cm \text{et} \kern0.2cm u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]\)
Donc pour montrer que \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\), on procède bien par récurrence sur \(n\in\mathbb{N}\) :
\(u_{n+2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right] \)
Il te reste à faire des factorisations partielles : par \(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\) et par \(\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\)
\(u_{n+2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right)-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}+1\right)\right]\)
Ensuite il y a une petite ruse à utiliser : tes deux nombres \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) et \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) sont les deux solutions de l'équation \(x^2-x-1=0\), soit \(x+1=x^2\) donc \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2\) et \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}+1=\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bonne continuations
tes calculs sont corrects pour les deux premières questions.
Pour la récurrence, n'oublie pas que tu as une seule propriété \(P(n)\) qui se compose de deux égalités :
\(P(n)\,:\, u_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]\kern0.2cm \text{et} \kern0.2cm u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]\)
Donc pour montrer que \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\), on procède bien par récurrence sur \(n\in\mathbb{N}\) :
- initialisation : pour vérifier \(P(0)\), il faut vérifier le calcul de \(u_0\) et de \(u_1\), tu te sers de ce que tu as fait à la question précédente donc tu dois vérifier avec les formules en remplaçan \(n\) par \(0\) que l'on retrouve bien \(u_0=0\) et \(u_1=1\) (déjà fait à la question 1).
- hérédité : tu te places à un rang \(n\in\mathbb{N}\) quelconque et tu supposes que \(P(n)\) est vraie. Il te faut montrer \(P(n+1)\). Comme la première égalité de \(P(n+1)\) correspond à la deuxième égalité de \(P(n)\), celle-ci est vérifiée par hypothèse sur \(P(n)\).
Il reste à démontrer la deuxième égalité de \(P(n+1)\), c'est-à-dire celle portant sur \(u_{n+2}\) : c'est là que tu utilises la relation de récurrence :
\(u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}=\underbrace{\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]}_{\text{2eme égalité de } P(n)}+\underbrace{\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]}_{\text{2eme égalité de } P(n)} \)
\(u_{n+2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right] \)
Il te reste à faire des factorisations partielles : par \(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\) et par \(\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\)
\(u_{n+2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right)-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}+1\right)\right]\)
Ensuite il y a une petite ruse à utiliser : tes deux nombres \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) et \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) sont les deux solutions de l'équation \(x^2-x-1=0\), soit \(x+1=x^2\) donc \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2\) et \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}+1=\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bonne continuations
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Sayna
Re: Raisonnement par récurrence
Bonjour,
Est-ce que vous pouvez m’expliquer l’étape des factorisations partielles svp ?
Est-ce que vous pouvez m’expliquer l’étape des factorisations partielles svp ?
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sos-math(21)
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Re: Raisonnement par récurrence
Bonjour,
je reprends la factorisation partielle de \(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\) : ce sont deux puissances d'un même nombre \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) donc on doit pouvoir factoriser.
On recherche un facteur commun en se rappelant que pour un nombre réel non nul \(a\), on a \(a^{n+1}=a^n\times a\).
L'expression devient alors \(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\times \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\)
On isole bien les deux facteurs communs :
\(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\times \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}=\underline{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}\times \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+\underline{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}\times 1\)
Donc on le réécrit une seule fois et on met dans une parenthèse tous les facteurs manquants (ce qui est encadré) :
\(\underline{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}\times \boxed{ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}\boxed{+}\underline{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}\times \boxed{1}= \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\times \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right)\)
Bonne continuation
je reprends la factorisation partielle de \(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\) : ce sont deux puissances d'un même nombre \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) donc on doit pouvoir factoriser.
On recherche un facteur commun en se rappelant que pour un nombre réel non nul \(a\), on a \(a^{n+1}=a^n\times a\).
L'expression devient alors \(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\times \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\)
On isole bien les deux facteurs communs :
\(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\times \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}=\underline{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}\times \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+\underline{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}\times 1\)
Donc on le réécrit une seule fois et on met dans une parenthèse tous les facteurs manquants (ce qui est encadré) :
\(\underline{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}\times \boxed{ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}\boxed{+}\underline{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}\times \boxed{1}= \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\times \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1\right)\)
Bonne continuation
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Sacha
Suite de Fibonacci et récurrence double
Bonjour, j'ai un DM en maths pour demain, c'est donc très important ! Merci pour ceux qui vont répondre, PS : j'ai réussi la question 1 et 2 mais je bloque à la 3.
- exercice recurrence double.png (76.97 Kio) Vu 2581 fois
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sos-math(21)
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Re: Suite de Fibonacci et récurrence double
Bonjour,
Nous avons déjà répondu à ce devoir maison donc je fusionne avec le sujet créé.
Si tu as des questions plus précises, n’hésite pas.
Bonne continuation
Nous avons déjà répondu à ce devoir maison donc je fusionne avec le sujet créé.
Si tu as des questions plus précises, n’hésite pas.
Bonne continuation
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Sacha
Re: Raisonnement par récurrence
Bonjour,
merci pour votre réponse, cependant mon professeur veut procéder par un développement et non en factorisant :/
merci pour votre réponse, cependant mon professeur veut procéder par un développement et non en factorisant :/
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Sacha
Re: Suite de Fibonacci et récurrence double
Bonjour, merci pour votre réponse tout d'abord, cependant mon professeur tient à ce que l'on developpe et non factoriser :/sos-math(21) a écrit : ↑jeu. 15 sept. 2022 18:29Bonjour,
Nous avons déjà répondu à ce devoir maison donc je fusionne avec le sujet créé.
Si tu as des questions plus précises, n’hésite pas.
Bonne continuation
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sos-math(21)
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Re: Raisonnement par récurrence
Bonjour,
Dans ce cas, il te suffit de prendre les calculs à l’envers en partant de l’expression avec des \(n+2\) et de développer de sorte à faire apparaître les puissances \(n\) et \(n+1\).
Bonne continuation
Dans ce cas, il te suffit de prendre les calculs à l’envers en partant de l’expression avec des \(n+2\) et de développer de sorte à faire apparaître les puissances \(n\) et \(n+1\).
Bonne continuation
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Sayna
Re: Raisonnement par récurrence
Bonjour,
J’ai bien compris le procédé de la factorisation partielle mais nouvelle question : comment on trouve la « ruse » ?
—> D’où vient la formule x + 1 = x.carré ?
—> Comment avez-vous déterminé que les deux valeurs (1+r.5/2 et 1-r.5/2) correspondaient aux solutions de cette équation ?
Sayna
J’ai bien compris le procédé de la factorisation partielle mais nouvelle question : comment on trouve la « ruse » ?
—> D’où vient la formule x + 1 = x.carré ?
—> Comment avez-vous déterminé que les deux valeurs (1+r.5/2 et 1-r.5/2) correspondaient aux solutions de cette équation ?
Sayna
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sos-math(21)
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Re: Raisonnement par récurrence
Bonjour,
La suite étudiée dans ton exercice est une suite remarquable :la suite de Fibonacci.
Pour déterminer une expression générale, on établit une équation caractéristique (théorie des suites récurrentes linéaires d’ordre 2) qui est bien \(x^2-x-1=0\) dont trouve les solutions à l’aide d’un calcul de discriminant.
Si tu veux en savoir plus tu peux consulter la page Wikipedia dédiée : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci
Bonne continuation
La suite étudiée dans ton exercice est une suite remarquable :la suite de Fibonacci.
Pour déterminer une expression générale, on établit une équation caractéristique (théorie des suites récurrentes linéaires d’ordre 2) qui est bien \(x^2-x-1=0\) dont trouve les solutions à l’aide d’un calcul de discriminant.
Si tu veux en savoir plus tu peux consulter la page Wikipedia dédiée : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci
Bonne continuation
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Sayna
Re: Raisonnement par récurrence
Bonjour,
D’accord, j’ai compris ; merci pour votre aide et votre réactivité.
Bonne continuation,
Sayna
D’accord, j’ai compris ; merci pour votre aide et votre réactivité.
Bonne continuation,
Sayna
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sos-math(21)
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Re: Raisonnement par récurrence
Bonjour,
très bien si tu as compris, ce devoir est difficile à aborder seul : l'hérédité de la démonstration par récurrence est loin d'être évidente.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math
très bien si tu as compris, ce devoir est difficile à aborder seul : l'hérédité de la démonstration par récurrence est loin d'être évidente.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math