Bonjour,
Je suis élève en terminale avec option maths expert. J'ai un exercice à faire dont je vous donne l'énoncé ci-dessous :
On veut déterminer les entiers relatifs \({n} \neq -2\) tels que \(\frac{2n - 29}{n + 2}\) soit un entier.
1) Montrer que si \({n}\) est solution du problème, alors \({n + 2}\) divise 33
2) Etablir la liste des diviseurs de 33 dans \(\mathbb {Z}\). En déduire les valeurs possibles de \({n}\) puis conclure.
J'ai donc tenté de résoudre l'exercice mais je ne suis pas certain ni de mon raisonnement ni de ma rédaction. Je me lance :
1) \(({2n} - 29) | ({n} + 2)\) ; \((2{n} - 29) | ({2n} + 2)\) ; \((2{n} - 29) | (2{n} - 29) - 2({n} + 2)\) soit \((2{n} - 29) | - 33\)
J'en déduis donc que \(({n} + 2)\) divise -33 et donc 33. Mais j'imagine qu'il me faut citer une propriété sur la divisibilité...
2) Par conséquent, les diviseurs dans \(\mathbb {Z}\) de -33 ou 33 sont {-33, -11, -3, -1, 1, 3, 11, 33}.
Je cherche maintenant à trouver les valeurs possibles de \({n}\) en résolvant \(2{n} - 29 = {-33, -11, -3, -1, 1, 3, 11, 33}\).
Je vous passe les calculs qui sont simples (\(2{n} - 29 = -11\) et \(2{n} - 29 = 33\)) et je trouve donc S = {9, 31}.
Voilà, est-il donc possible qu'une personne m'indique si j'ai fait une erreur et surtout ce que j'ai omis de dire dans ma rédaction.
Merci,
Sylvain
Divisibilité dans Z
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Sylvain
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sos-math(21)
- Messages : 10353
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Divisibilité dans Z
Bonjour,
attention à l'ordre de tes opérandes dans la relation \(|\) : tu as \(n+2\) qui divise \(2n-29\) donc on écrit \(n+2|2n-29\).
Ensuite le raisonnement est correct : \(n+2|2(n+2)\) donc \(n+2\) divise la différence des deux nombres soit \(2n+4-(2n-29)=2n+4-2n+29=33\) donc \(n+2|33\).
La propriété qui valide ce calcul est la suivante :
si \(a\) est un diviseur de \(b\) et de \(c\) alors \(a\) est un diviseur de toute combinaison linéaire de \(b\) et \(c\), c'est-à-dire tout nombre de la forme \(kb+k'c\), avec \(k,k'\in\mathbb{Z}\).
De même il faut donc chercher à déterminer pour quelles valeurs de \(n\), \(n+2\) est un diviseur de \(33\) et pas \(2n-29\) car c'est \(n+2\) qui est au dénominateur.
Soit résoudre les équations \(n+2=-33, -11, -3, -1, 1, 3, 11, 33\).
Reprends cela.
attention à l'ordre de tes opérandes dans la relation \(|\) : tu as \(n+2\) qui divise \(2n-29\) donc on écrit \(n+2|2n-29\).
Ensuite le raisonnement est correct : \(n+2|2(n+2)\) donc \(n+2\) divise la différence des deux nombres soit \(2n+4-(2n-29)=2n+4-2n+29=33\) donc \(n+2|33\).
La propriété qui valide ce calcul est la suivante :
si \(a\) est un diviseur de \(b\) et de \(c\) alors \(a\) est un diviseur de toute combinaison linéaire de \(b\) et \(c\), c'est-à-dire tout nombre de la forme \(kb+k'c\), avec \(k,k'\in\mathbb{Z}\).
De même il faut donc chercher à déterminer pour quelles valeurs de \(n\), \(n+2\) est un diviseur de \(33\) et pas \(2n-29\) car c'est \(n+2\) qui est au dénominateur.
Soit résoudre les équations \(n+2=-33, -11, -3, -1, 1, 3, 11, 33\).
Reprends cela.
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Sylvain
Re: Divisibilité dans Z
Merci beaucoup, en me relisant, je me suis aperçu de mon erreur.
En effet, il me faut encore raisonner avec des chiffres pour bien symboliser 33 est divisé par 11 et 11 est diviseur de 33.
En effet, il me faut encore raisonner avec des chiffres pour bien symboliser 33 est divisé par 11 et 11 est diviseur de 33.
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sos-math(21)
- Messages : 10353
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Divisibilité dans Z
Bonjour,
En effet, la relation de divisibilité a un sens.
je te rassure, c'est une erreur fréquente, surtout lorsque les éléments en jeu ne sont pas des valeurs numériques mais des expressions littérales.
Bonne continuation
En effet, la relation de divisibilité a un sens.
je te rassure, c'est une erreur fréquente, surtout lorsque les éléments en jeu ne sont pas des valeurs numériques mais des expressions littérales.
Bonne continuation