Suite et raisonnement par récurrence

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Lucas

Suite et raisonnement par récurrence

Message par Lucas » ven. 9 sept. 2022 21:07

Bonjour,

Je suis actuellement en terminale spé maths. J'ai un exercice à résoudre que je n'arrive malheureusement pas à faire. J'ai l'impression qu'il faut utiliser le raisonnement par récurrence mais je n'en suis pas certain.

Soit (\(u_{n}\)) la suite définie par : \(u_{0}\) = 3, \(u_{1}\) = 7 et \(\forall {n} \in \mathbb{N}\), \(u_{n}+2 = 2u_{n+1} + 15u_{n}\).

Montrer que pour tout entier naturel n, \(u_{n} = (-3)^{n} + 2 x 5^{n}\)

J'arrive la partie initialisation sans problème (forcément ce n'est pas compliqué), en revanche je coince sur la partie hérédité.

Merci de m'aider.

Lucas
sos-math(21)
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Re: Suite et raisonnement par récurrence

Message par sos-math(21) » sam. 10 sept. 2022 07:53

Bonjour,
C'est bien une histoire de récurrence mais cette propriété est un peu délicate à montrer car tu dois faire une récurrence sur deux rangs : en effet comme tu as une relation de récurrence qui utilise \(u_{n}\) et \(u_{n+1}\) pour exprimer \(u_{n+2}\), il faut que tu montres la propriété \(\mathcal{P_n}\) sur \(\mathbb{N}\) :
"\(u_{n}=(-3)^n+5\times 2^n\kern0.8cm\text{et}\kern0.8cm u_{n+1}=(-3)^{n+1}+5\times 2^{n+1}\)"
Pour l'initialisation, il faut donc que tu vérifies pour \(n=0\) et \(n=1\) mais ce n'est pas plus difficile.
Pour l'hérédité, tu supposes que \(\mathcal{P_n}\) est vraie et tu veux montrer que \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.
En fait, la première partie de \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie car elle correspond à la deuxième partie de \(\mathcal{P}_n\) que l'on a supposée vraie : \(u_{n+1}=(-3)^{n+1}+5\times 2^{n+1}\)
Il reste à montrer la deuxième partie de \(\mathcal{P}_{n+1}\) à savoir celle qui concerne \(u_{n+2}\).
On reprend la relation de récurrence qui la décrit :
\(u_{n+2}=2u_{n+1}+15u_n=2\times \underbrace{((-3)^{n+1}+2\times 5^{n+1})}_{\mathcal{P}_{n}\, \text{partie 2}} + 15\times \underbrace{((-3)^{n}+2\times 5^{n})}_{\mathcal{P}_{n}\, \text{partie 1}}\).
Il faut ensuite tout développer :
\(u_{n+2}=2\times (-3)^{n+1}+4\times 5^{n+1}+15\times(-3)^n+30\times 5^{n}\).
Il faut ensuite arranger tout cela pour avoir des exposants \(n+1\) partout :
\(15\times (-3)^n=5\times 3\times (-3)^n=-5\times (-3)\times (-3)^n=-5\times (-3)^{n+1}\)
\(30\times 5^{n}=6\times 5\times 5^n=6\times 5^{n+1}\).
Je te laisse réinjecter ces expressions dans le calcul précédent, arranger cela et conclure.
Bonne continuation
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