Surface dans un repère x,y,z

[Michael]

Bonjour,
Je suis un petit peu en quête d'une solution ^^
Voici mon problème :
Je dispose de 3 points de cordonnées x,y,z respectifs. En ajoutant en 4ème point le premier, on compose ainsi un triangle.
Je cherche, à partir de ces coordonnées, à déterminer la surface du triangle ainsi formé.
Sur un plan xy, la solution semble assez simple S = 1/2 [x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]
Sauf que dans mon cas, il me semble que je récupère la surface projetée du triangle sur le plan xy.

Je ne parviens pas à déterminer comment récupérer la surface qui se trouve sur un plan quelconque à partir des coordonnées.

Si vous avez une piste de réflexion ?

Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne comprends pas la situation : que signifie ton 4eme point ?
Tu es en quelle classe ? D'habitude, en terminale, des exercices de ce type sont plus détaillés.
Merci de préciser.
Bonne continuation

[michael]

Bonjour,

Mon 4ème point n'a pas trop d'importance, c'était juste pour signifier qu'avec les coordonnées de 3 points, on trace 2 segments, et que un 4 ème point (de coordonnées identiques au premier) permet de tracer le dernier segment d'un triangle.

En réalité, je ne suis dans aucune classe ^^ je me pose juste quelques question sur la géométrie spatiale, notamment le sujet de l'obtention d'une aire via des coordonnées x,y,z.

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour que tu aies un triangle, il faut une surface plane donc il faut que tes trois points soient coplanaires, c'est-à-dire qu'ils appartiennent à un même plan dont il sera utile de connaître une équation.
Ensuite, il faut trouver les coordonnées du pied de la hauteur d'un des sommets, puis calculer la longueur hauteur associée et appliquer la formule classique de l'aire d'un triangle dans le plan.
Tu as des moyens plus rapides avec la formule de Héron ou le produit vectoriel mais ce sont des techniques spécifiques qui sortent du programme du lycée : https://fr.wikipedia.org/wiki/Aire_d%27un_triangle
Bonne continuation

[Michael]

Merci, vous confirmez mon hypothèse de la formule de héron. Mes points sont bien coplanaires, avec un plan quelque part dans l'espace, sans possibilité de lui adjoindre une équation... Donc, connaissant les x y z, je peux en déduire la longueur de mes 3 segments, et donc utiliser héron!
Merci pour le temps que vous m'avez consacré

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu es sûr que tes points sont coplanaires, tu peux calculer les longueurs des trois côtés avec la formule habituelle (dans un repère orthonormé) :
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
Puis appliquer la formule de Héron.
Bonne continuation