Bonjour tous le monde,
Alors voilà j'ai un DM à rendre sur les fonctions réciproques. Matière que je maîtrise mais j'ai néanmoins du mal
J'ai une fonction : 2x/1+x² et l'on me demande de
● Dire si elle est invective ? Surjective ? Ou bien les deux
● Montrer que l'ensemble image f = [-1;1] c'est-à-dire que pour tout y appartenant à cet intervalle il existe un x appartenant au réel tels que f(x) = y
● montrer que sa restriction g : [-1;1] --> [-1;1] : x --> f(x) est bijective
J'ai réalisé une étude complète de ma fonction et je l'ai représentée mais maintenant je suis dans le flou, j'aurais besoin d'une piste s'il vous plaît
Merci d'avance
Fonction réciproque
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Éric
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sos-math(21)
- Messages : 10353
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Fonction réciproque
Bonjour,
Ta fonction n'est pas injective car il existe (au moins) deux réels distincts qui ont la même image, par exemple \(0{,}5\) et \(2\).
Ta fonction n'est pas surjective car tout réel n'a pas d'antécédent. Par exemple \(2\) n'a pas d'antécédent par \(f\), il suffit de résoudre \(f(x)=2\) qui est équivalente à \(\dfrac{2x}{1+x^2}=2\), soit \(2x=2(1+x^2)\) donc \(x^2-x+1=0\) : cette équation du second degré n'a pas de solution (à vérifier avec un calcul de discriminant).
Pour la surjectivité dans l'intervalle \([-1\,;\,1]\), il faut résoudre pour \(y\) fixé, l'équation \(f(x)=y\), soit \(\dfrac{2x}{1+x^2}=y\) donc \(2x=y+yx^2\)
soit \(\ldots x^2-\ldots x+\ldots=0\).
Si \(y=0\), il y a une solution \(x=\ldots\)
Sinon, on a une équation du second degré en \(x\) dont le discriminant vaut \(\Delta = .... \geqslant 0\) lorsque \(y\in[-1\,;\,1]\).
Ainsi l'équation a au moins une solution dans tous les cas donc la fonction admet au moins un antécédent pour tout \(y\in[-1\,;\,1]\) et elle est bien surjective sur cet intervalle.
Pour l'injectivité je te laisse faire : il suffit de montrer que si \(f(x)=f(y)\) alors \(x=y\).
Bonne continuation
Ta fonction n'est pas injective car il existe (au moins) deux réels distincts qui ont la même image, par exemple \(0{,}5\) et \(2\).
Ta fonction n'est pas surjective car tout réel n'a pas d'antécédent. Par exemple \(2\) n'a pas d'antécédent par \(f\), il suffit de résoudre \(f(x)=2\) qui est équivalente à \(\dfrac{2x}{1+x^2}=2\), soit \(2x=2(1+x^2)\) donc \(x^2-x+1=0\) : cette équation du second degré n'a pas de solution (à vérifier avec un calcul de discriminant).
Pour la surjectivité dans l'intervalle \([-1\,;\,1]\), il faut résoudre pour \(y\) fixé, l'équation \(f(x)=y\), soit \(\dfrac{2x}{1+x^2}=y\) donc \(2x=y+yx^2\)
soit \(\ldots x^2-\ldots x+\ldots=0\).
Si \(y=0\), il y a une solution \(x=\ldots\)
Sinon, on a une équation du second degré en \(x\) dont le discriminant vaut \(\Delta = .... \geqslant 0\) lorsque \(y\in[-1\,;\,1]\).
Ainsi l'équation a au moins une solution dans tous les cas donc la fonction admet au moins un antécédent pour tout \(y\in[-1\,;\,1]\) et elle est bien surjective sur cet intervalle.
Pour l'injectivité je te laisse faire : il suffit de montrer que si \(f(x)=f(y)\) alors \(x=y\).
Bonne continuation