Bonjour,
je suis en train de chercher à modéliser l'évolution du taux d'alcoolémie dans le sang grâce aux équations différentielles.
Voici un lien qui traite un exercice de type lycée que je comprends parfaitement.
https://www.ilemaths.net/sujet-equation ... 98770.html
Mais comment peut-on justifier l'utilisation de cette équation différentielle ?
Merci !
C.
équations différentielles
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Cédric
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SoS-Math(25)
- Messages : 1859
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: équations différentielles
Bonjour Cédric,
Expliquer cela n'est pas simple et peut être périlleux mais je vais m'y risquer.
Voici une synthétique et approximative vision de la représentation de certaines équations différentielles.
En terminale on utilise des équations différentielles pour différentes modélisations comme :
-- Refroidissement de Newton
-- Accélération, vitesse, distance et frottements
-- Volume, concentration, débit
-- ...
Ici, il s'agit de variation de concentration au cours du temps. Pour simplifier, prenons un récipient contenant un certain volume d'eau à l'instant 0 : V(0).
Imaginons que ce récipient évacue continuellement de l'eau par un trou. Le volume d'eau évacué à chaque instant dépend, entre autre, de la pression de l'eau exercée à l'intérieur du récipient (moins il y a d'eau, moins la pression est forte ce qui va diminuer au fur et à mesure de volume d'eau évacué à chaque instant). Encore pour simplifier, imaginons donc que le volume d'eau évacué est proportionnel au volume d'eau présent dans le récipient.
Ainsi, la variation de volume d'eau dans le récipient au cours du temps est proportionnelle au volume d'eau présent. Une rapide explication :
Soit V(t) le volume d'eau présent dans le récipient à chaque instant t.
A l'instant t, le volume d'eau évacué est donc k*V(t) avec k une constante.
Représentons par h>0 une toute petite avancée dans le temps. Le volume d'eau à l'instant t+h est donc représenté par V(t+h). Pendant ce temps h très court suivant t, il y a environ h*k*V(t) volume d'eau évacué.
On a alors l'équation : V(t+h) = V(t)-h*k*V(t) puis V(t+h) - V(t) = -h*k*V(t) et enfin :
\(\dfrac{V(t+h) - V(t)}{h} = -k\times V(t)\)
Soit, lorsque h tend vers 0 : \(V'(t) = -k\times V(t)\)
Dans ton cas, k = 1.
Maintenant, imaginons que l'on verse dans ce même récipient un certain volume d'eau au cours du temps représenter par un fonction f(t) (un robinet ouvert au dessus ou des personnes qui versent de temps en temps de l'eau....).
Pendant le temps h très court suivant t, il y a environ h*f(t) volume d'eau ajouté. Ainsi, avec le même raisonnement :
\(V(t+h) = V(t) -h\times k\times V(t) + h\times f(t)\)
\(\dfrac{V(t+h) - V(t)}{h} = -k\times V(t) + f(t)\)
Soit : \(V'(t) = -k\times V(t) + f(t)\)
Dans ton cas, j'imagine que la fonction f(t) = a*e^{-t} est en quelque sorte la concentration d'alcool dans le sang au cours du temps issue seulement de l'alcool absorbé au cours du temps.
Je te laisse méditer tout cela.
Bon courage.
Expliquer cela n'est pas simple et peut être périlleux mais je vais m'y risquer.
Voici une synthétique et approximative vision de la représentation de certaines équations différentielles.
En terminale on utilise des équations différentielles pour différentes modélisations comme :
-- Refroidissement de Newton
-- Accélération, vitesse, distance et frottements
-- Volume, concentration, débit
-- ...
Ici, il s'agit de variation de concentration au cours du temps. Pour simplifier, prenons un récipient contenant un certain volume d'eau à l'instant 0 : V(0).
Imaginons que ce récipient évacue continuellement de l'eau par un trou. Le volume d'eau évacué à chaque instant dépend, entre autre, de la pression de l'eau exercée à l'intérieur du récipient (moins il y a d'eau, moins la pression est forte ce qui va diminuer au fur et à mesure de volume d'eau évacué à chaque instant). Encore pour simplifier, imaginons donc que le volume d'eau évacué est proportionnel au volume d'eau présent dans le récipient.
Ainsi, la variation de volume d'eau dans le récipient au cours du temps est proportionnelle au volume d'eau présent. Une rapide explication :
Soit V(t) le volume d'eau présent dans le récipient à chaque instant t.
A l'instant t, le volume d'eau évacué est donc k*V(t) avec k une constante.
Représentons par h>0 une toute petite avancée dans le temps. Le volume d'eau à l'instant t+h est donc représenté par V(t+h). Pendant ce temps h très court suivant t, il y a environ h*k*V(t) volume d'eau évacué.
On a alors l'équation : V(t+h) = V(t)-h*k*V(t) puis V(t+h) - V(t) = -h*k*V(t) et enfin :
\(\dfrac{V(t+h) - V(t)}{h} = -k\times V(t)\)
Soit, lorsque h tend vers 0 : \(V'(t) = -k\times V(t)\)
Dans ton cas, k = 1.
Maintenant, imaginons que l'on verse dans ce même récipient un certain volume d'eau au cours du temps représenter par un fonction f(t) (un robinet ouvert au dessus ou des personnes qui versent de temps en temps de l'eau....).
Pendant le temps h très court suivant t, il y a environ h*f(t) volume d'eau ajouté. Ainsi, avec le même raisonnement :
\(V(t+h) = V(t) -h\times k\times V(t) + h\times f(t)\)
\(\dfrac{V(t+h) - V(t)}{h} = -k\times V(t) + f(t)\)
Soit : \(V'(t) = -k\times V(t) + f(t)\)
Dans ton cas, j'imagine que la fonction f(t) = a*e^{-t} est en quelque sorte la concentration d'alcool dans le sang au cours du temps issue seulement de l'alcool absorbé au cours du temps.
Je te laisse méditer tout cela.
Bon courage.
-
Cédric
Re: équations différentielles
Bonsoir ,
Merci beaucoup pour cette vision pragmatique des équations différentielles qui m'éclaire !
C.
Merci beaucoup pour cette vision pragmatique des équations différentielles qui m'éclaire !
C.