Intégrales et proba
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Celine
Intégrales et proba
Bonjour, voici mon sujet, j’aimerai obtenir de l’aide, n’étant pas très douée. Merci
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Celine
Re: Intégrales et proba
voici mes avancées pour l'exercice 1 :
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sos-math(21)
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Re: Intégrales et proba
Bonjour,
je vais te fournir quelques indices pour démarrer :
L'exercice 1 porte sur le calcul intégral : pour calculer une intégrale, on peut commencer(si c'est possible) par déterminer une primitive de la fonction sous le signe intégral.
Pour ton premier calcul \(f(t)=\dfrac{1}{t}+1\). Une primitive de \(f\) est \(F(t)=\ln(t)+t\) ce qui donne \(\displaystyle \int_{1}^{\text{e}}f(t)\text{d}t=[\ln(t)+t]_{1}^{\text{e}}=F(\text{e})-F(1)=...\)
Pour la deuxième, la fonction est de la forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u(x)=x^2+1\). Elle s'intègre donc en \(U(x)=\ln(u(x))\).
Pour la troisième, la primitive est facile à trouver.
Pour la quatrième, la fonction est "presque" de la forme \(u'\text{e}^{u}\) qui s'intègre en \(\text{e}^{u}\).
Pour l'intégration par parties, il faut poser \(u(x)=3x\), et \(v'(x)=\text{e}^{x}\) et se servir de la formule de la dérivation \((uv)'=u'v+uv'\), soit
\(uv'=(uv)'-u'v\) puis passer aux intégrales (tu as dû voir cette technique en cours sinon ton professeur ne te le demanderait pas).
Pour les probabilités, la variable aléatoire \(X\) prend deux valeurs : \(-6\) (probabilité \(\dfrac{2}{3}\)) et \(9\) (probabilité \(\dfrac{1}{3}\)).
Tu dois pouvoir construire le tableau donnant la loi de probabilité puis calculer l'espérance et la variance (ce sont des formules à appliquer).
Pour \(Y\), ce sera la même chose.
Fais déjà cela et renvoie un message si besoin.
Bonne continuation
je vais te fournir quelques indices pour démarrer :
L'exercice 1 porte sur le calcul intégral : pour calculer une intégrale, on peut commencer(si c'est possible) par déterminer une primitive de la fonction sous le signe intégral.
Pour ton premier calcul \(f(t)=\dfrac{1}{t}+1\). Une primitive de \(f\) est \(F(t)=\ln(t)+t\) ce qui donne \(\displaystyle \int_{1}^{\text{e}}f(t)\text{d}t=[\ln(t)+t]_{1}^{\text{e}}=F(\text{e})-F(1)=...\)
Pour la deuxième, la fonction est de la forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u(x)=x^2+1\). Elle s'intègre donc en \(U(x)=\ln(u(x))\).
Pour la troisième, la primitive est facile à trouver.
Pour la quatrième, la fonction est "presque" de la forme \(u'\text{e}^{u}\) qui s'intègre en \(\text{e}^{u}\).
Pour l'intégration par parties, il faut poser \(u(x)=3x\), et \(v'(x)=\text{e}^{x}\) et se servir de la formule de la dérivation \((uv)'=u'v+uv'\), soit
\(uv'=(uv)'-u'v\) puis passer aux intégrales (tu as dû voir cette technique en cours sinon ton professeur ne te le demanderait pas).
Pour les probabilités, la variable aléatoire \(X\) prend deux valeurs : \(-6\) (probabilité \(\dfrac{2}{3}\)) et \(9\) (probabilité \(\dfrac{1}{3}\)).
Tu dois pouvoir construire le tableau donnant la loi de probabilité puis calculer l'espérance et la variance (ce sont des formules à appliquer).
Pour \(Y\), ce sera la même chose.
Fais déjà cela et renvoie un message si besoin.
Bonne continuation
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sos-math(21)
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Re: Intégrales et proba
Bonjour,
je viens de voir ton travail.
Tu mélanges les variables \(x\) et \(t\) dans une même expression, c'est une erreur de notation : soit tu choisis \(x\), soit tu choisis \(t\), mais pas les deux dans une même expression.
Ensuite, tu intègres entre \(1\) et \(\text{e}\) donc je ne comprends pourquoi tu as un 2 dans tes calculs. Normalement ton intégrale est égale à \(\text{e}\).
Pour la deuxième, il y a une double grossière erreur : le carré de \(-1\) est égal à 1 (et pas \(-1\) !) et ton calcul te mène à \(\ln(0)\), qui n'est pas défini !
Dans cette deuxième intégrale, tu devrais obtenir \(\ln(2)-\ln(2)=0\) (tu aurais pu aussi voir le fait que \(f\) est impaire donc son intégrale sur un domaine symétrique par rapport à 0 vaut 0).
Pour la dernière, c'est bon, tu dois avoir \(\dfrac{13}{6}\).
Bonne continuation
je viens de voir ton travail.
Tu mélanges les variables \(x\) et \(t\) dans une même expression, c'est une erreur de notation : soit tu choisis \(x\), soit tu choisis \(t\), mais pas les deux dans une même expression.
Ensuite, tu intègres entre \(1\) et \(\text{e}\) donc je ne comprends pourquoi tu as un 2 dans tes calculs. Normalement ton intégrale est égale à \(\text{e}\).
Pour la deuxième, il y a une double grossière erreur : le carré de \(-1\) est égal à 1 (et pas \(-1\) !) et ton calcul te mène à \(\ln(0)\), qui n'est pas défini !
Dans cette deuxième intégrale, tu devrais obtenir \(\ln(2)-\ln(2)=0\) (tu aurais pu aussi voir le fait que \(f\) est impaire donc son intégrale sur un domaine symétrique par rapport à 0 vaut 0).
Pour la dernière, c'est bon, tu dois avoir \(\dfrac{13}{6}\).
Bonne continuation
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Celine
Re: Intégrales et proba
Re, merci pour l'exercice 1, pour le 2 voici mon avancée, je bloque
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sos-math(21)
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Re: Intégrales et proba
Bonjour,
la valeur \(9\) est associée à \(\dfrac{1}{3}\) et la valeur \(-6\) est associée à la valeur \(\dfrac{2}{3}\) : j'ai dû dire le contraire, mes excuses pour la confusion.
Pour la variable aléatoire \(Y\), cela me semble correct.
Pour la somme des deux variables, comme l'espérance est linéaire tu as \(E(G)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)\).
Pour la variance, les deux variables étant indépendantes (à expliquer), on a aussi \(V(G)=V(X)+V(Y)\).
Bonne continuation
la valeur \(9\) est associée à \(\dfrac{1}{3}\) et la valeur \(-6\) est associée à la valeur \(\dfrac{2}{3}\) : j'ai dû dire le contraire, mes excuses pour la confusion.
Pour la variable aléatoire \(Y\), cela me semble correct.
Pour la somme des deux variables, comme l'espérance est linéaire tu as \(E(G)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)\).
Pour la variance, les deux variables étant indépendantes (à expliquer), on a aussi \(V(G)=V(X)+V(Y)\).
Bonne continuation
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Celine
Re: Intégrales et proba
d'accord, dans ce cas l'ésperence de X est de -1
et pas besoin de tableau pour la question 4 c'est ça ?
Navrée mais je ne comprends pas l'exercice...
et pas besoin de tableau pour la question 4 c'est ça ?
Navrée mais je ne comprends pas l'exercice...
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sos-math(21)
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Re: Intégrales et proba
Oui, on a bien \(E(X)=-1\).
L'idée de décomposer le score en la somme de deux scores mesurés par des variables aléatoires indépendantes permet de simplifier le travail.
Mais tu peux aussi faire un arbre puis un tableau pour déterminer la loi de \(G\), puis son espérance et sa variance : ce serait un moyen de vérifier les calculs.
Bonne conclusion
L'idée de décomposer le score en la somme de deux scores mesurés par des variables aléatoires indépendantes permet de simplifier le travail.
Mais tu peux aussi faire un arbre puis un tableau pour déterminer la loi de \(G\), puis son espérance et sa variance : ce serait un moyen de vérifier les calculs.
Bonne conclusion
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Celine
Re: Intégrales et proba
Merci beaucoup, dernière question je ne comprends pas l’exercice 3
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sos-math(21)
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Re: Intégrales et proba
A priori, le prélèvement d'un échantillon de 10 personnes est un tirage sans remise car une personne prélevée ne peut pas être reprise (elle est enlevée de la population).
Or, lorsque la taille de l'échantillon (ici 10) est très petite (inférieure à 10%) devant celle de la population (ici 1500 personnes), on peut assimiler cette expérience aléatoire à un tirage avec remise, ce qui permet de considérer cet échantillon comme une liste \((X_1,\ldots,\,X_{10})\) de 10 variables aléatoires indépendantes et identiques, suivant la même loi et ayant toute la même espérance \(1870\) , la même variance donc le même écart-type \(223\).
\(S\) est donc la somme de 10 variables aléatoires de même loi, et ton cours te dit dans ce cas que \(E(S)=10\times E(X)\) et \(\sigma(S)=\sqrt{10}\times\sigma(S)\). Ces résultats s'appuient sur les mêmes propriétés de l'espérance et la variance que l'exercice précédent.
Je te laisse faire ces calculs.
Or, lorsque la taille de l'échantillon (ici 10) est très petite (inférieure à 10%) devant celle de la population (ici 1500 personnes), on peut assimiler cette expérience aléatoire à un tirage avec remise, ce qui permet de considérer cet échantillon comme une liste \((X_1,\ldots,\,X_{10})\) de 10 variables aléatoires indépendantes et identiques, suivant la même loi et ayant toute la même espérance \(1870\) , la même variance donc le même écart-type \(223\).
\(S\) est donc la somme de 10 variables aléatoires de même loi, et ton cours te dit dans ce cas que \(E(S)=10\times E(X)\) et \(\sigma(S)=\sqrt{10}\times\sigma(S)\). Ces résultats s'appuient sur les mêmes propriétés de l'espérance et la variance que l'exercice précédent.
Je te laisse faire ces calculs.