Suite numérique

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rou

Suite numérique

Message par rou » sam. 14 mai 2022 08:25

Bonjour,
SVP je n'arrive pas à résoudre la dernière question de cet exercice :
Soit f une fonction définie sur ]o;+∞[ tel que f(x) = sqrt(4x+5)
* On a montré que f est strictement croissante
* Soit la suite (Un) tel que Uo = 2 et Un+1 = sqrt(4Un + 5) (n+1 est un indice)
* On a montré que pour tout entier naturel n on a
1< Un < 5
* On a montré que (Un) est strictement croissante, puis on a conclu sue (Un) est convergente
* Montrer que pour tout n on a :
5 - Un+1 < (4/5)×(5 - Un)
J'ai essayé entre autres méthodes la récurrence mais je ne parviens pas.
MERCI
SoS-Math(25)
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Re: Suite numérique

Message par SoS-Math(25) » sam. 14 mai 2022 10:32

Bonjour,

Pour cette question, l'inégalité des accroissements finis peut être utile mais avez-vous vu ce théorème ?

Sinon, il y a peut-être plus simple mais :

J'essayerai de démontrer ceci (qui revient au même... à expliquer) :

Pour tout \(x \in ]1;5[\) :

\(5-f(x) < \dfrac{4}{5}(5-x)\)

Pour démontrer cela, on isole f(x) (je te laisse faire) on obtient :

\(\Leftrightarrow \quad 1+\dfrac{4x}{5} < f(x)\)

Les deux quantités étant positives et la fonction carrée étant croissante sur ]0;+\infty[, on obtient :

\(\Leftrightarrow \quad (1+\dfrac{4x}{5})^2 < 4x+5\)

Pour résumer, démontrer : \(5-f(x) < \dfrac{4}{5}(5-x)\) pour tout \(x \in ]1;5[\) revient à démontrer \((1+\dfrac{4x}{5})^2 < 4x+5\) pour tout \(x \in ]1;5[\)

Ensuite, il s'agit d'une inéquation du second degré donc en ramenant la comparaison à 0 puis en développant on doit pouvoir s'en sortir.

Bon courage
rou

Re: Suite numérique

Message par rou » sam. 14 mai 2022 14:04

Bonjour,
* Oui je connais le théorème des accroissements finis, j'aimerais bien si possible me montrer comment l'utiliser ici.
* D'accord merci beaucoup j'ai compris votre explication donc pour terminer je dois juste remplacer f(x) par Un, c'est ça?
Merci
SoS-Math(25)
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Re: Suite numérique

Message par SoS-Math(25) » sam. 14 mai 2022 16:06

Pour la fin, on remplace x par u_n, ainsi f(u_n) = u_{n+1}.

Pour le théorème des accroissements finis, il faut que tu regardes des exemples sur le web, c'est plutôt simple à comprendre :

Pour f une fonction dérivable sur I = [a;b] et f ' sa dérivée sur ]a;b[.

Il existe un réel c \in ]a;b[ tel que :

f(b)-f(a) = f '(c)(b-a)

En appliquant ce théorème sur [x;5] avec x \in ]1;5[ puis en utilisant un majorant de f ' sur ]1;5[ (donc sur ]x;5[) on doit obtenir le résultat. (Inégalité des accroissements finis)

Le majorant doit être 4/5 ou 4/6, dans les deux cas cela convient.

Bon courage
rou

Re: Suite numérique

Message par rou » sam. 14 mai 2022 17:45

Bonjour,
Ok merci, jai encore une question SVP, bien que je peux facilement montrer dans une question précédente que 1<Un<5 et cela par récurrence mais je me demande comment cela est possible puisque la suite (Un) a l'aire de croître vers +∞, d'ailleurs la limite de la fonction f en +∞ égale à +∞. Quelque chose m'échappe peut-être ?
Merci
SoS-Math(25)
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Re: Suite numérique

Message par SoS-Math(25) » sam. 14 mai 2022 17:55

C'est une confusion courante.

Il ne faut pas confondre la suite de termes (U_n) et la fonction f.

Regarde l'image présentant la construction terme à terme de la suite (U_n), cela ressemble à ton cas :
index.png
index.png (9.94 Kio) Vu 2669 fois
On observe que les termes vont être bloqués par le point fixe de f (f(x)=x)

En fait, Pour tout x \in [0;5], 1<=f(x)<=5 donc chaque terme de (U_n) est contenu dans [1;5] (à ne pas confondre avec f(x) pour x \in [0;+\infty[

A bientôt
rou

Re: Suite numérique

Message par rou » sam. 14 mai 2022 18:55

Bonjour,
Ah oui j'ai oublié ce point fixe et qui représente la limite du (Un) quand elle est convergente.
Merci infiniment pour vos précieuses explication
A bientôt
SoS-Math(33)
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Re: Suite numérique

Message par SoS-Math(33) » dim. 15 mai 2022 08:10

Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math
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