trigonométrie

[Cédrix]

Bonjour,
je redonne l'énoncé juste :

dans un triangle ABC, on a :
sin(a) = (sin(b) + sin(c)) / (cos(b) + cos(c)) où a représente l'angle BAC,
b l'angle ABC et c l'angle BCA.
Que peut-on dire de ce TRIANGLE ?
Merci de m'aider à trouver des pistes ...

En utilisant des formules trigonométriques et après simplification, j'ai trouvé que sin(a) = sin ((b+c)/2)) / cos ((b+c)/2)).
Est-ce une bonne piste ?
Merci.

C.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Cédric,
oui c'est une piste,
\(sin(a) = \dfrac{sin( \dfrac{b+c}{2})}{ cos( \dfrac{b+c}{2} )}= tan(\dfrac{b+c}{2})\)
il te faut utiliser la propriété des angles d'un triangle : a+b+c=180 donc b+c=180-a
ensuite tu pourras utiliser la formule \(sin(a)=2sin(\dfrac{a}{2})cos(\dfrac{a}{2})\)
Je te laisse poursuivre
SoS-math

[Cédric]

Bonsoir,
Merci !
En poursuivant :
sin(a)=tan(90 - a/2)
sin(a)=1/tan(a/2)
2 sin(a/2) cos(a/2) = 1/tan(a/2)
2 sin²(a/2) = 1
sin²(a/2) = 1/2
d'où sin(a/2) = rac(2)/2 ou sin(a/2) = -rac(2)/2
mais un sinus pour un angle géométrique inférieur à 180° ne peut être négatif.
Donc a/2 = 45° ou a/2 = 135°
d'où a=90° car a ne peut être égal à 270° qui est supérieur à 180°.
Ce qui fait que le triangle est rectangle en A.
Cédric

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ton calcul me semble correct. Dans quel cadre as tu ce type d’exercice à faire ? Cela requiert de solides bases en formules trigonométriques, et cela dépasse ce que l’on demande habituellement aux lycéens dans ce domaine.
Bonne continuation

[Cédric]

Bonjour,
oui, je suis allé plus loin que ce que nous avons vu en classe en abordant des questions de première année de classes préparatoires.
Merci pour votre aide même dans ce cas !
C.

[sos-math(21)]

Bonjour
Ok
Je comprends mieux
Bonne préparation pour le supérieur