Bonjour.
S'il vous plaît comment montrer que la suite n×tan(π/n) est strictement décroissante tel que n entier et n≥3
Merci
Décroissance d'une suite
-
sos-math(21)
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Re: Décroissance d'une suite
Bonjour,
comme ta suite est de la forme \(u_n=f(n)\), avec \(f(x)=x\tan\left(\dfrac{\pi}{x}\right)\), tu peux étudier la fonction \(f\) définie sur \([3\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=x\tan\left(\dfrac{\pi}{x}\right)\).
Le fait de passer par la fonction te permet d'utiliser l'outil de dérivation.
Tu peux donc essayer de dériver ta fonction, puis étudier le signe de cette dérivée, pour conclure sur le sens de variation de \(f\).
Je ne sais pas si l'étude de la fonction est facile, je n'ai pas fait le calcul et je te donne seulement une méthode classique de résolution.
À toi de voir.
Bonne continuation
comme ta suite est de la forme \(u_n=f(n)\), avec \(f(x)=x\tan\left(\dfrac{\pi}{x}\right)\), tu peux étudier la fonction \(f\) définie sur \([3\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=x\tan\left(\dfrac{\pi}{x}\right)\).
Le fait de passer par la fonction te permet d'utiliser l'outil de dérivation.
Tu peux donc essayer de dériver ta fonction, puis étudier le signe de cette dérivée, pour conclure sur le sens de variation de \(f\).
Je ne sais pas si l'étude de la fonction est facile, je n'ai pas fait le calcul et je te donne seulement une méthode classique de résolution.
À toi de voir.
Bonne continuation
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Rou
Re: Décroissance d'une suite
Bonjour
Oui j'ai essayé avec la dérivée de f mais je bloque car ce n'est pas facile après d'étudier sa signe.
f'(x) = tan(π/x) - π/(x×cos²(π/x))
(En fait c'est niveau 1er année universitaire)
Merci
Comme le forum est fermé, je réponds dans ton message.
En fait, après réflexion, c'est un peu plus compliqué.
Une solution est de considérer la fonction \(f(x)=\pi \dfrac{\tan(x)}{x}\) de sorte que \(f\left(\dfrac{\pi}{n}\right)=n\tan\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\).
comme on veut établir la variation à partir de \(n\geqslant 3\), on aura \(\dfrac{\pi}{n}\leqslant \dfrac{\pi}{3}\).
Donc on travaille sur \(\mathcal{D}=\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]\).
On étudie la fonction \(f\) et on regarde sa dérivée \(f'(x)=\pi(\dfrac{x\tan^2(x)-\tan(x)+x}{x^2})\) sur \(\mathcal{D}\)
Le signe de cette dérivé n'est pas immédiat et il dépend uniquement de son numérateur, il faut donc étudier son numérateur en considérant la fonction \(g\) définie sur \(\mathcal{D}\) par \(g(x)=x\tan^2(x)-\tan(x)+x\).
Cette fonction est dérivable sur \(\mathcal{D}\) et sa dérivée vaut \(g'(x)=2 x\left(\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1 \right) \; \operatorname{tan} \left( x \right)\). Cette dérivée est clairement positive. Ainsi \(g'(x)\geqslant 0\) et \(g(0)=0\) donc \(g(x)>0\) pour tout \(x\in \mathcal{D}\).
Au final, on a bien obtenu que le numérateur de la dérivée est strictement positif donc que la dérivée est strictement positive sur \(\mathcal{D}\)
Ainsi la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathcal{D}\).
La suite \(\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\) est décroissante donc la suite \(\left(f\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\right)\) est décroissante par composition (croissant composé avec décroissant donne décroissant).
Je te laisse conclure cet exercice qui ne me paraît pas simple : si tu trouves une solution plus simple, merci de nous la faire parvenir.
Bonne continuation
Oui j'ai essayé avec la dérivée de f mais je bloque car ce n'est pas facile après d'étudier sa signe.
f'(x) = tan(π/x) - π/(x×cos²(π/x))
(En fait c'est niveau 1er année universitaire)
Merci
Comme le forum est fermé, je réponds dans ton message.
En fait, après réflexion, c'est un peu plus compliqué.
Une solution est de considérer la fonction \(f(x)=\pi \dfrac{\tan(x)}{x}\) de sorte que \(f\left(\dfrac{\pi}{n}\right)=n\tan\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\).
comme on veut établir la variation à partir de \(n\geqslant 3\), on aura \(\dfrac{\pi}{n}\leqslant \dfrac{\pi}{3}\).
Donc on travaille sur \(\mathcal{D}=\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]\).
On étudie la fonction \(f\) et on regarde sa dérivée \(f'(x)=\pi(\dfrac{x\tan^2(x)-\tan(x)+x}{x^2})\) sur \(\mathcal{D}\)
Le signe de cette dérivé n'est pas immédiat et il dépend uniquement de son numérateur, il faut donc étudier son numérateur en considérant la fonction \(g\) définie sur \(\mathcal{D}\) par \(g(x)=x\tan^2(x)-\tan(x)+x\).
Cette fonction est dérivable sur \(\mathcal{D}\) et sa dérivée vaut \(g'(x)=2 x\left(\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1 \right) \; \operatorname{tan} \left( x \right)\). Cette dérivée est clairement positive. Ainsi \(g'(x)\geqslant 0\) et \(g(0)=0\) donc \(g(x)>0\) pour tout \(x\in \mathcal{D}\).
Au final, on a bien obtenu que le numérateur de la dérivée est strictement positif donc que la dérivée est strictement positive sur \(\mathcal{D}\)
Ainsi la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathcal{D}\).
La suite \(\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\) est décroissante donc la suite \(\left(f\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\right)\) est décroissante par composition (croissant composé avec décroissant donne décroissant).
Je te laisse conclure cet exercice qui ne me paraît pas simple : si tu trouves une solution plus simple, merci de nous la faire parvenir.
Bonne continuation
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sos-math(21)
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Re: Décroissance d'une suite
Bonjour,
En fait, après réflexion, c'est un peu plus compliqué.
Une solution est de considérer la fonction \(f(x)=\pi \dfrac{\tan(x)}{x}\) de sorte que \(f\left(\dfrac{\pi}{n}\right)=n\tan\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\).
comme on veut établir la variation à partir de \(n\geqslant 3\), on aura \(\dfrac{\pi}{n}\leqslant \dfrac{\pi}{3}\).
Donc on travaille sur \(\mathcal{D}=\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]\).
On étudie la fonction \(f\) et on regarde sa dérivée \(f'(x)=\pi(\dfrac{x\tan^2(x)-\tan(x)+x}{x^2})\) sur \(\mathcal{D}\)
Le signe de cette dérivé n'est pas immédiat et il dépend uniquement de son numérateur, il faut donc étudier son numérateur en considérant la fonction \(g\) définie sur \(\mathcal{D}\) par \(g(x)=x\tan^2(x)-\tan(x)+x\).
Cette fonction est dérivable sur \(\mathcal{D}\) et sa dérivée vaut \(g'(x)=2 x\left(\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1 \right) \; \operatorname{tan} \left( x \right)\). Cette dérivée est clairement positive. Ainsi \(g'(x)\geqslant 0\) et \(g(0)=0\) donc \(g(x)>0\) pour tout \(x\in \mathcal{D}\).
Au final, on a bien obtenu que le numérateur de la dérivée est strictement positif donc que la dérivée est strictement positive sur \(\mathcal{D}\)
Ainsi la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathcal{D}\).
La suite \(\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\) est décroissante donc la suite \(\left(f\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\right)\) est décroissante par composition (croissant composé avec décroissant donne décroissant).
Je te laisse conclure cet exercice qui ne me paraît pas simple : si tu trouves une solution plus simple, merci de nous la faire parvenir.
Bonne continuation
En fait, après réflexion, c'est un peu plus compliqué.
Une solution est de considérer la fonction \(f(x)=\pi \dfrac{\tan(x)}{x}\) de sorte que \(f\left(\dfrac{\pi}{n}\right)=n\tan\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\).
comme on veut établir la variation à partir de \(n\geqslant 3\), on aura \(\dfrac{\pi}{n}\leqslant \dfrac{\pi}{3}\).
Donc on travaille sur \(\mathcal{D}=\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]\).
On étudie la fonction \(f\) et on regarde sa dérivée \(f'(x)=\pi(\dfrac{x\tan^2(x)-\tan(x)+x}{x^2})\) sur \(\mathcal{D}\)
Le signe de cette dérivé n'est pas immédiat et il dépend uniquement de son numérateur, il faut donc étudier son numérateur en considérant la fonction \(g\) définie sur \(\mathcal{D}\) par \(g(x)=x\tan^2(x)-\tan(x)+x\).
Cette fonction est dérivable sur \(\mathcal{D}\) et sa dérivée vaut \(g'(x)=2 x\left(\operatorname{tan} ^{2}\left( x \right) + 1 \right) \; \operatorname{tan} \left( x \right)\). Cette dérivée est clairement positive. Ainsi \(g'(x)\geqslant 0\) et \(g(0)=0\) donc \(g(x)>0\) pour tout \(x\in \mathcal{D}\).
Au final, on a bien obtenu que le numérateur de la dérivée est strictement positif donc que la dérivée est strictement positive sur \(\mathcal{D}\)
Ainsi la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathcal{D}\).
La suite \(\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\) est décroissante donc la suite \(\left(f\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\right)\) est décroissante par composition (croissant composé avec décroissant donne décroissant).
Je te laisse conclure cet exercice qui ne me paraît pas simple : si tu trouves une solution plus simple, merci de nous la faire parvenir.
Bonne continuation
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Rouji
Re: Décroissance d'une suite
Bonjour
Merci pour votre réponse et vos efforts
Votre méthode et superbe mais j'ai juste un truc que je n'ai pas compris, comment vous avez pu conclure que la fonction g est strictement positive ? Puisque si g' > 0 cela implique que g est croissante sans pouvoir connaître son signe, je me trompe?
Encore une fois merci
Merci pour votre réponse et vos efforts
Votre méthode et superbe mais j'ai juste un truc que je n'ai pas compris, comment vous avez pu conclure que la fonction g est strictement positive ? Puisque si g' > 0 cela implique que g est croissante sans pouvoir connaître son signe, je me trompe?
Encore une fois merci
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Décroissance d'une suite
Bonjour,
je l'ai précisé dans mon message : \(g\) est strictement croissante (car \(g'\) est positive) et on a en plus \(g(0)=0\).
Cela signifie que pour tout \(x\in[0\,;\,1]\), la croissance de \(g\) permet de passer de \(x\geqslant 0\) à \(g(x)\geqslant g(0)\).
En effet, je te rappelle la définition d'une fonction croissante : si \(g\) est croissante sur un intervalle \(I\), pour tous réels \(a,b\) de \(I\), tels que \(a>b\), alors \(g(a)\geqslant g(b)\).
Puis, comme \(g(0)=0\), on a \(g(x)\geqslant 0\).
Bonne conclusion
je l'ai précisé dans mon message : \(g\) est strictement croissante (car \(g'\) est positive) et on a en plus \(g(0)=0\).
Cela signifie que pour tout \(x\in[0\,;\,1]\), la croissance de \(g\) permet de passer de \(x\geqslant 0\) à \(g(x)\geqslant g(0)\).
En effet, je te rappelle la définition d'une fonction croissante : si \(g\) est croissante sur un intervalle \(I\), pour tous réels \(a,b\) de \(I\), tels que \(a>b\), alors \(g(a)\geqslant g(b)\).
Puis, comme \(g(0)=0\), on a \(g(x)\geqslant 0\).
Bonne conclusion
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Rou
Re: Décroissance d'une suite
Bonjour,
Oui oui là j'ai parfaitement compris, pour la conclusion ce n'est pas difficile
Merci infiniment et si je tombe sur une autre démonstration plus simple je vous le ferai savoir (bien que la votre je le trouve simple aussi et géniale)
Oui oui là j'ai parfaitement compris, pour la conclusion ce n'est pas difficile
Merci infiniment et si je tombe sur une autre démonstration plus simple je vous le ferai savoir (bien que la votre je le trouve simple aussi et géniale)
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sos-math(21)
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Re: Décroissance d'une suite
Bonjour,
Très bien si tu as pu t’en sortir avec mes propositions.
Bon courage et à bientôt sur sos math
Très bien si tu as pu t’en sortir avec mes propositions.
Bon courage et à bientôt sur sos math