math appliquées

[Cédric]

Bonjour,
1) pourriez-vous vérifier si l'énoncé des 3 formules dans les paragraphes 2, 3 et 4 est correct ?
2) dans l'ex 22 (et le 26), je ne comprends pas la correction. A partir de 50 ans, on retire 1000 euros à la fin de chaque année donc je ne comprends pas pourquoi on a le droit d'utiliser la formule du paragraphe 4.
Merci beaucoup,
C.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Cédric,
tes exercices sont spécifiques à des mathématiques financières.
Je ne suis pas expert dans ce domaine et je ne peux que vérifier les applications des formules.
Je ne peux pas t'aider plus.
Je sais pas si sur le forum il y a un de mes collègues modérateurs qui soit spécialiste dans ce domaine.
SoS-math

[SoS-Math(31)]

Bonjour Cédric,
Première formule :
Le capital de départ est a l'année suivante, a (1+i) où i correspont aux interêts t% : i = t/10a
la deuxième année a (1+i)² , la troisième a(1+i)^3 ... la dernière année a (1+i)^(n-1)
donc au bout de n année V = a + a(1+i)² + ... + a (1+i)^(n-1) = a [ 1 + (1+i) + (1+i)² + ... + (1+i)^(n-1)]
la somme entre crochets est une somme de terme consécutif d'une suite géométrique de raison q = (1+i) égale à q^(n-1) - 1 divisé par q - 1

donc (1+i)^(n-1) - 1 divisé par 1+i-1 = i
La première formule est correcte.

[Cédric]

Bonjour,
Merci !
J'ai compris la première formule !
C.

[SoS-Math(31)]

Bonjour Cédric,
Il n'y a pas de spécialiste de math financière sur ce forum.
Connaissant un peu le monde des prêts bancaires, j'ai donc repris ton problème et voilà mon idée pour la deuxième formule :
On emprunt E
Année 0 : le capital restant du est R0 = E.

Année 1 : On doit donc E(1+i) avec i = t/100 et on verse a donc le capital restant est R1 = R0(1+i) - a = E(1+i) - a

Année 2 : On doit donc R1 ( 1 + i) et on verse a donc le capital restant est R2 = R1(1+i) - a= (E(1+i) - a) (1+i) - a
alors R2 = E(1+i)² - a (1+i) - a

Année 3 : On doit donc R2 ( 1 + i) et on verse a donc le capital estant est R3 = R2(1+i) - a= (E(1+i)² - a (1+i) - a) (1+i) - a
alors R3 = E(1+i) ^3 - a(1+i)² - a(1+i) - a = E (1+i)^3 - [a (1+i)² + a (1+i) + a]

La dernière année : Rn = E (1+i)^n - somme de terme consécutif d'une suite géométrique de raison 1+ i et de premier terme
Comme Rn = 0 (fin du remboursement) on trouve E(1+i)^n = cette somme = a [((1+i)^n)-1] / i
on résout l'équation a = i E (1+i) ^n diviser par ((1+i) ^n ) - 1
Ce qui donne la deuxième formule en divisant numérateur et dénominateur par (1+i) ^n
Pour la troisième formule : Si VA correspond à E, cela découle de la deuxième formule.