DM ln

[Celine]

bonjour j'ai un DM de maths sur le logarithme népérien, chapitre que je ne maitrise pas. Aidez-moi svp. Je vous remercie d'avance.

Exercice 1 :

1. a= ln (3racine(3)) - 1,5 ln (3^4)+ 3ln
= 1/2ln 3racine(3) - 1,5 4ln3 + 3ln9


2. b= -ln(e^x) + ln (3x)- ln (3/x ) + e^3lnx - ln (x^2)
= - x + ln3 + lnx - ln3- lnx + 3lnx - 2lnx
= - x + 3lnx - 2lnx
b = - x + 1lnx

3. e^x = 9 ln (x) - 1 > 0
ln (e^x) x = ln9 ln (x)>1
x = ln9 e^lnx > e^1
x = e^1

3ln (x) -4 < ln(x)
3ln (x) < ln(x)+4
ln (x) < ln(x) +4/3
e^lnx <
x <


4. f(x) = ln (2+3 x)
f’(x) = 3/(2+3x)


g (x) = x^2 . ln(x)
g (x) = u = x^2 u = 2x
v = ln(x) v = 1/x

g (x) = 2x . lnx + x^2 X 1/x
g (x) = 2x . lnx + x^2/x



5. Lim(x->+oo) ln(x) = + oo
(x->+oo) ln(x)/x = 0


Lim(x->0) ln (1+1/x) = + oo

car lim(x->0) x = 0
donc lim(x->0) 1/x = + oo


6.

f(x) = ln(2x-1)
domaine d’existence : 2x-1>0
2x>1
x>1/2

ln(2x-1) <= 0
e^ln(2x-1) <= e
2x-1 <= e
2x <= e^1
x <= e/2


Exercice 2

Partie 1 :

1. Je ne sais pas comment faire

2. Signe de f(x) positif ?


Partie 2 :

g(x)=[ln(x)]^2-ln(x)

1. Lim(x->0) [ln(x)]^2 -ln(x) = + oo
car lim(x->0) ln(x) = + oo
Lim(x->0) ln(x) . ln(x) =+oo

b. Lim(x->+oo) [ln(x)]= indéterminée ?
car lim(x->+oo) ln(x) . ln(x) = +oo
lim(x->+oo) - ln(x) = -oo

2. g(x) = [ ln(x)]^2 - ln(x)
g’(x) = (1/x)^2 - 1/x

Merci

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Céline,

Commençons par la 1ère question de l'exercice 1 :
On demande une réponse en fonction de ln(3) ... or tu as encore des ln(9) ou ln(3\(\sqrt{3}\)).
Voici un rappel pour t'aider : ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; ln(\(\sqrt{a}\)) = \(\frac{1}{2}\)ln(a) et ln(\(a^n\))=\(n\)ln(\(a\)).

avec cela tu vas pouvoir transformer ln(3\(\sqrt{3}\)) et ln(9) = ln(3²) et ainsi simplifier a ...

Pour la question 2 :
tu as fait de bonnes choses mais tu vas trop vite ...
- ln(3/x ) = -(ln(3) - ln(x)) = -ln(3) + ln(x) ... tu as oublié les parenthèses.

Je te laisse corriger ces deux questions et je regarde demain la suite.

SoSMath.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Céline,

Voici la suite. Pour la question 3, c'est bien pour l'équation.
La 1ère inéquation il y a une erreur pour la conclusion .... tu as écris "x = e^1" au lieu de x > e^1.

Pour la 2ème inéquation, il faut regrouper les ln(x) ensemble :
3ln (x) - 4 < ln(x)
3ln (x) - ln(x) - 4 < ln(x) - ln(x)
2ln(x) - 4 < 0

je te laisse terminer.

Question 4 : c'est très bien. Cependant tu peux simplifier g' ... en effet x^2/x = x.

Question 5 : c'est bien.

Question 6 : c'est bien pour le domaine de définition.
Pour la résolution de l'inéquation tu as commis une erreur ...
ln(2x-1) <= 0
e^ln(2x-1) <= e^0
2x-1 <= 1
.... je te laisse terminer.

Voila pour l'exercice 1.

Bon courage,
SoSMath.

[Celine]

Bonjour, voici les modifications apportés :

1. Pour la 1 je n'y parvient toujours pas

2. J'ai modifiée :

3. La 3ème inéquation :

6. j'ai rectifiée

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour tes simplifications de la question 1, tu as fait le plus dur :
\(A=\ln(3\sqrt{3})-1,5\ln(3^4)+3\ln(9)=\ln(3)+0,5\ln(3)-6\ln(3)+\underbrace{3\ln(3^2)}_{\ln(a^n)=n\ln(a)}\)
ce qui donne
\(\require{cancel}A=\ln(3)+0,5\ln(3)-6\ln(3)+3\times 2\ln(3)=\ln(3)+0,5\ln(3)\cancel{-6\ln(3)}\cancel{+6\ln(3)}=1,5\ln(3)\)
Pour les simplifications, il y a encore des erreurs : \(\text{e}^{3\ln(x)}=\text{e}^{\ln(x^3)}=x^3\)
Et il doit y a voir un \(\ln(3)\) en trop... Reprends cela.
Pour l'inéquation, c'est bon, tu peux simplifier \(\text{e}^{\frac{4}{2}}=\text{e}^2\).
Tu as envoyé les deux mêmes photos pour des questions différentes donc pour la suite, je ne sais pas.
Bonne continuation

[Céline]

Voici :

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour le calcul du 1, c'est bon.
Pour le 2, il y a encore des erreurs : tu as un \(\ln(3)\) en trop, il n'y en a que deux.
De plus \(\ln(x)+\ln(x)=2\ln(x)\) et pas \((\ln(x))^2\)
En fait, tu dois avoir :
\(-\ln(\text{e}^x)+\ln(3x)-\ln\left(\dfrac{3}{x}\right)+\text{e}^{3\ln(x)}-\ln(x^2)=-x+\ln(3)+\ln(x)-\ln(3)+\ln(x)+x^3-2\ln(x)\)
Il reste ensuite à simplifier tout cela.
Pour les inéquations contenant des logarithmes, je précise un peu car je n'ai pas évoqué la notion de domaine de validité.
Ta fonction logarithme est définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) donc l'inéquation \(3\ln(x)-4<\ln(x)\) n'a du sens que si \(x>0\).
Les solutions que tu trouves, à savoir \(x<\text{e}^2\) sont à "croiser" avec l'intervalle de définition : il faut donc qu'on ait simultanément \(x>0\) et \(x<\text{e}^2\) donc il faut qu'on ait \(0<x<\text{e}^2\) donc \(\mathcal{S}=]0\,;\,\text{e}^2[\).
Ce sera la même chose avec ton autre inéquation \(\ln(2x-1)\leqslant 0\) qui est définie pour \(2x-1>0\) soit pour \(x>\dfrac{1}{2}\).
Là encore, il faudra combiner les deux inégalités.
Est-ce que tu comprends cette notion de domaine de validité ?
Bonne continuation

[Celine]

Non , j'ai ratée cette notion en cour. Du coup ce que j'ai fais est faux ? qu'est-ce que c'est cencsé donner ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tes résolutions, d'un point de vue du déroulement des étapes, sont correctes.
Il faut seulement penser à prendre les solutions qui ont du sens pour l'écriture de départ de ton inéquation.
Reprends mes explications et tu verras ce qu'il faut faire en plus.
Bonne continuation

[Celine]

Je suis désolée je ne comprend pas

[sos-math(21)]

Bonjour,
les inéquations avec du logarithme se manipulent sous réserve que l'expression ait du sens.
L'écriture \(\ln(x)\) n'a de sens que si \(x>0\) car la fonction \(\ln\) est définie uniquement sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Tout comme l'écriture \(sqrt{x}\) n'a de sens que si \(x\geqslant 0\) car la racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs.
Ainsi, quand tu résous \(3\ln(x)-4<\ln(x)\), tu supposes implicitement que \(x>0\) (car sinon ton inéquation ne serait pas définie).
Une fois cela dit et mis en avant, tu fais ta résolution comme tu l'as déjà fait et tu trouves \(x<\text{e}^2\) mais il ne faut pas oublier que tu as implicitement \(x>0\).
Donc pour qu'un réel \(x\) soit une solution de l'inéquation, il faut que tu aies \(x>0\) et \(x<\text{e}^2\) donc il faut qu'on ait \(0<x<\text{e}^2\) et \(\mathcal{S}=]0\,;\,\text{e}^2[\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

[Celine]

Ca marche merci, j'ai compris. Qu'en ait-il de l'exercice 2 ?

[Celine]

Bonjour, j'ai raté cette notion en cour j'ai du mal pour l'exercice 2 de mon DM. Aidez-moi svp.
Merci d'avance

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Exercice 2

Partie 1 :

1. Je ne sais pas comment faire

2. Signe de f(x) positif ?


Partie 2 :

g(x)=[ln(x)]^2-ln(x)

1. Lim(x->0) [ln(x)]^2 -ln(x) = + oo
car lim(x->0) ln(x) = + oo
Lim(x->0) ln(x) . ln(x) =+oo

b. Lim(x->+oo) [ln(x)]= indéterminée ?
car lim(x->+oo) ln(x) . ln(x) = +oo
lim(x->+oo) - ln(x) = -oo

2. g(x) = [ ln(x)]^2 - ln(x)
g’(x) = (1/x)^2 - 1/x

[SoS-Math(9)]

Bonjour Céline,

Pour l'exercice 2, partie I.
Question 1 : il faut utiliser la propriété suivante : \(\frac{a}{b}=0\) <=> a = 0 et b \(\neq\) 0

Question 2 : Pour le signe de f(x), il faut résoudre (ici graphiquement) f(x) > 0 (c'est-à-dire f(x) positive strictement), f(x) = 0 et f(x) < 0 (f(x) négative strictement).
Graphiquement f(x) > 0 c'est l'ensemble des abscisses ("les x") des points dont l'ordonnée (f(x)) est positive.

Partie II
Question 1 (a et b). Tu as commis une erreur ... tu as écrit "lim(x->0) ln(x) = + oo" et c'est faux ... on a lim(x->0) ln(x) = - oo
Dans les deux cas tu as une forme indéterminée ... et pour lever cette indéterminée il faut factoriser : ln²(x) - ln(x) = ln(x)(ln(x) -1).

Question 2 : tu as trouver g’(x) = (1/x)^2 - 1/x mais ce n'est pas égale à f(x) !
Tu as commis une erreur : \((u^2)'\neq (u')^2\) mais \((u^2)' = 2u'u\) cela vient de la formule générale : \((u^n)' = nu'u^{n-1}\)

Bon courage,
SoSMath.

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour le 1) il faut résoudre l'équation \(\dfrac{2\ln(x)-1}{x}\)=0 définie pour \(x>0\).
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul donc ton équation est équivalente à \(2\ln(x)-1=0\).
Tu as déjà résolu ce type d'équation dans la partie 1, je te laisse faire, tu devrais trouver \(\alpha\).
Ensuite, tu vois que ta courbe est en-dessous de l'axe des abscisses avant \(\alpha\) puis au-dessus après \(\alpha\).
Cela devrait te permettre d'établir le signe de ta fonction : négatif avant \(\alpha\) et positif après.
Tu peux résumer cela dans un tableau de signes.
Pour les limites, tu as écrit :

car lim(x->0) ln(x) = + oo

C'est faux, regarde dans ton cours : \(\lim_{x\to 0, x>0}\ln(x)=-\infty\).
Tu dois tout de même trouver une limite égale à \(+\infty\).
Pour la b, il y a bien une forme indéterminée que tu peux "lever" en factorisant : \(\left(\ln(x)\right)^2-\ln(x)=\ln(x)\left(\ln(x)-1\right)\).
Et étudier la limite de chaque facteur.
Pour la dérivée, tu dois utiliser la dérivée d'une puissance d'une fonction : \((u^n)'=n\times u'\times u^{n-1}\).
Tu l'appliques avec \(u(x)=\ln(x)\) et \(n=2\), cela te donnera un autre résultat.
Reprends tout cela.
Bon courage