SOS-MATH

Bonsoir, j'ai vraiment besoin d'aide je suis désespérée svp.
La question est la suivante :
"Démontrer alors que pour tout entier naturel n non nul : Un >= ln(n+1)"
Sachant que :
Un= 1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n
Un+1= Un + 1/n+1
U1= 1
U2=1,5
U3=11/6
U20=3,60
U100=5,19
U500=6,79
ln(1+x)<= x
ln(n+1)-ln(n)<= 1/n
Voilà c'est toutes les informations qui me sont données. Je sais également qu'il faut répondre à la question par une démonstration par récurrence
Merci d'avance !
PS: <= veut dire inférieur ou égal

Je n'ai plus besoin d'aide finalement merci quand même

Bonjour,
on te propose une récurrence sur \(n\geqslant 1\) donc il faut essayer de la mettre en œuvre :
On considère la propriété \(\mathcal{P}(n)\, :\, u_n\geqslant \ln(n+1)\)

• initialisation : au rang \(n=1\), on a \(U_1=1\) et \(\ln(1+1)=\ln(2)\approx 0,69\) donc on a bien \(U_1\geqslant \ln(1+1)\) donc \(\mathcal{P}(1)\) est vérifiée
• hérédité : on suppose que pour un rang \(n\geqslant 1\) donné, la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vérifiée et on veut montrer \(\mathcal{P}(n+1)\)
  Tu as vu que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(\dfrac{1}{n}\geqslant \ln(n+1)-\ln(n)\), donc au rang \(n+1\), cela donne \(\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)-\ln(n+1)\) (on décale tout d'un cran)
  Il reste ensuite à considérer \(U_{n+1}=\underbrace{1+\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{n}}_{U_n}+\dfrac{1}{n+1}=U_n+\dfrac{1}{n+1}\)
  Or par hypothèse de récurrence, \(U_n\geqslant \ln(n+1)\) et on a montré que \(\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)-\ln(n+1)\) donc
  \(U_n+\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+1)+\ln(n+2)-\ln(n+1)\).
  Les logarithmes se simplifient donc \(U_n+\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)\) soit \(U_{n+1}\geqslant \ln(n+2)\), ce qui établit la propriété au rang \(n+1\) donc l'hérédité est prouvée
• D'après le principe de récurrence la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel non nul \(n\).

Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

Bonjour,
j'ai reçu ton deuxième message alors que j'étais en train de répondre au premier.
Tu peux tout de même consulter ma réponse pour comparer avec ce que tu as fait.
Bonne continuation