Inéquation par récurrence

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Svphelp

Inéquation par récurrence

Message par Svphelp » mar. 22 févr. 2022 01:33

Bonsoir, j'ai vraiment besoin d'aide je suis désespérée svp.
La question est la suivante :
"Démontrer alors que pour tout entier naturel n non nul : Un >= ln(n+1)"
Sachant que :
Un= 1 + 1/2 + 1/3 +...+1/n
Un+1= Un + 1/n+1
U1= 1
U2=1,5
U3=11/6
U20=3,60
U100=5,19
U500=6,79
ln(1+x)<= x
ln(n+1)-ln(n)<= 1/n
Voilà c'est toutes les informations qui me sont données. Je sais également qu'il faut répondre à la question par une démonstration par récurrence
Merci d'avance !
PS: <= veut dire inférieur ou égal
Svphelp

Re: Inéquation par récurrence

Message par Svphelp » mar. 22 févr. 2022 08:17

Je n'ai plus besoin d'aide finalement merci quand même
sos-math(21)
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Re: Inéquation par récurrence

Message par sos-math(21) » mar. 22 févr. 2022 08:22

Bonjour,
on te propose une récurrence sur \(n\geqslant 1\) donc il faut essayer de la mettre en œuvre :
On considère la propriété \(\mathcal{P}(n)\, :\, u_n\geqslant \ln(n+1)\)
  • initialisation : au rang \(n=1\), on a \(U_1=1\) et \(\ln(1+1)=\ln(2)\approx 0,69\) donc on a bien \(U_1\geqslant \ln(1+1)\) donc \(\mathcal{P}(1)\) est vérifiée
  • hérédité : on suppose que pour un rang \(n\geqslant 1\) donné, la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vérifiée et on veut montrer \(\mathcal{P}(n+1)\)
    Tu as vu que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(\dfrac{1}{n}\geqslant \ln(n+1)-\ln(n)\), donc au rang \(n+1\), cela donne \(\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)-\ln(n+1)\) (on décale tout d'un cran)
    Il reste ensuite à considérer \(U_{n+1}=\underbrace{1+\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{n}}_{U_n}+\dfrac{1}{n+1}=U_n+\dfrac{1}{n+1}\)
    Or par hypothèse de récurrence, \(U_n\geqslant \ln(n+1)\) et on a montré que \(\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)-\ln(n+1)\) donc
    \(U_n+\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+1)+\ln(n+2)-\ln(n+1)\).
    Les logarithmes se simplifient donc \(U_n+\dfrac{1}{n+1}\geqslant \ln(n+2)\) soit \(U_{n+1}\geqslant \ln(n+2)\), ce qui établit la propriété au rang \(n+1\) donc l'hérédité est prouvée
  • D'après le principe de récurrence la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel non nul \(n\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
sos-math(21)
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Re: Inéquation par récurrence

Message par sos-math(21) » mar. 22 févr. 2022 08:24

Bonjour,
j'ai reçu ton deuxième message alors que j'étais en train de répondre au premier.
Tu peux tout de même consulter ma réponse pour comparer avec ce que tu as fait.
Bonne continuation
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