loi binomiale

[carine]

Bonjour !

Je n'arrive pas à résoudre le problème suivant ! J'ai fait sans problème les parties A et B. Il s'agit du sujet D page 397 du livre de math bordas de Terminale - partie C.

Le sujet indique : la compagnie aérienne affiche un taux de satisfaction de la part de ses clients de 98%. Sur les 400 réponses à une enquête de satisfaction, il y a 383 réponses exprimant leur satisfaction. Ce résultat contredit il l'affirmation de la compagnie ?

En suivant la capacité 7 du livre, je construis une table qui donne une valeur de 0,0034 pour X=383 et il faut aller à X = 396 pour avoir une valeur de 0,959. Avec cette table, j'aurais tendance à dire que le résultat donné contredit l'affirmation de la compagnie. Mon problème est que le corrigé du livre dit le contraire : "Le résultat donné ne peut pas contredire l'affirmation de la compagnie", ce que je ne comprends pas.

Du coups, j'ai cherché sur internet et j'ai trouvé une autre méthode (qui n'est plus au programme de terminale) : appliquer la formule de fluctuation asymptotique qui donne un intervalle I (0,96628 ; 0,99372) puis calculer la fréquence (ici 383/400 = 0,9575) et comme la fréquence n'appartient pas à I, on conclue que cela contredit l'affirmation de la compagnie.


Voilà où j'en suis sans comprendre. Merci infiniment si vous pouvez m'aider
Carine

[sos-math(21)]

Bonjour,
avec les méthodes que tu as décrites, j'obtiens les mêmes résultats que toi. L'intervalle de fluctuation à 95% qui doit contenir la fréquence des échantillons dans 95% des cas, ne contient pas la fréquence de l'échantillon (qui vaut 0,9575),

• avec la loi binomiale : l'intervalle \(\left[\dfrac{a}{n}\,;\,\dfrac{b}{n}\right]\) (où \(a\) et \(b\) sont les plus petits entiers à vérifier \(P(X\leqslant a)>0,025\) et \(P(X\leqslant b)\geqslant 0,975\)) est donné par \(\left[\dfrac{386}{400}\,;\,\dfrac{396}{400}\right]=[0,965\,;\,0,99]\) (méthode du livre page 371
• avec la loi normale, l'intervalle de fluctuation à 95% est donné par \(\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\,p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]=[0,96628\,;\,0,99372]\)

Cela signifie, qu'avec un risque d'erreur de 5%, l'affirmation de la compagnie est contredite.
Je pense donc qu'il y a une erreur dans le corrigé... Peux-tu me donner le lien vers celui-ci ?
Bonne continuation

[carine]

RE bonjour !

Merci pour votre réponse ! Je vous joins :
une image avec le corrigé du livre (très succinct)
une image qui est mon brouillon de réponse

Merci beaucoup !
Carine

Voici le corrigé du livre

ce que j'ai prévu d'écrire à la question

[sos-math(21)]

Bonjour,
j'ai du mal à comprendre le corrigé, car si l'on suit leur raisonnement, tout nombre de succès inférieur à 396 pourrait convenir, ce qui ne me semble pas une réponse acceptable.
La différence de réponse tient au fait que le corrigé parle de cumul de probabilités, alors qu'on s'intéresse habituellement à un intervalle de fluctuation centré autour de la proportion attendue, c'est-à-dire qu'on enlève les 2,5% les plus extrêmes à gauche et à droite.
C'est ce qui est fait dans la page 371 du même manuel : avec le raisonnement du manuel et nos calculs, on obtient qu'il y a 95% de chances d'avoir entre 386 et 396 succès. Donc la probabilité que la fréquence 383/400 soit dans l'intervalle acceptable est inférieure à 5%.
En revanche, ton argumentation ne me semble pas non plus convaincante car tu raisonnes uniquement sur le cumul des valeurs et il faudrait mettre en avant un intervalle qui exclut la valeur 383. Je pense que la bonne démarche consiste à reprendre la capacité C p371 du manuel, ce qui correspond à ce que j'ai fait dans la première méthode proposée dans mon précédent message.
Avec le changement de programme, ce genre de question devient pénible à résoudre et ne devrait même plus figurer dans les sujets de bac car il correspond à des démarches qui ne sont plus au programme.
Bonne continuation

[carine]

Re bonjour !

Excusez-moi, je vous ennuie encore ! J'ai refait mon brouillon en tenant compte de ce que vous m'avez dit. C'est à dire que j'ai copié la manière de faire du C p371 mais avec la manière exacte de faire du livre parce que je ne connais pas la rédaction que vous avez écrite :

avec la loi binomiale : l'intervalle [a/n;b/n] (où a et b sont les plus petits entiers à vérifier P(X⩽a)>0,025 et P(X⩽b)⩾0,975) est donné par [386/400;396/400]=[0,965;0,99]

Par contre, je ne comprends pas comment vous trouvez la borne supérieure "396" avec cette méthode parce que sur la calculatrice, "396" renvoie 0,959 ce qui est inférieur à 0,975.

Je vous remets mon nouveau brouillon si vous avez le temps de regarder parce qu'en suivant la rédaction du livre C page 371, c'est pareil, cela me change la borne supérieure qui devient 397.

Merci beaucoup
Carine

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui tu as raison pour la borne supérieure, c'est bien \(b=397\). En effet les deux entiers \(a\) et \(b\) doivent vérifier :

• \(a \) est le plus petit entier tel que \(P(X \leqslant a) > 0,025\),
• \(b\) est le plus petit entier tel que \(P(X \leqslant b) \geqslant 0,975\).

Pour le brouillon, j'ai l'impression que c'est le même ?
Bonne continuation

[carine]

Oh, excusez-moi, je n'ai pas mis le bon fichier. Le voici !

Merci et bonne journée

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as fait une très bonne rédaction, et dans l'état actuel des connaissances au programme, je ne pense pas qu'on puisse faire mieux.
Juste un tout petit détail : par convention, on écrit les probabilités sous forme décimale ou fractionnaire et rarement sous forme pourcentage : cette dernière est réservée aux fréquences et proportions. Donc je noterai plutôt \(p=0,98\).
Si cet exercice a vocation à être corrigé en classe, je serais intéressé par la correction qu'en fera ton/ta professeur(e).
Dans l'ancien programme, ce type de question se gérait facilement avec l'intervalle de fluctuation (c'est ce qu'on a fait sans le dire). Avec les connaissances du nouveau programme, ce type de question n'a plus vraiment sa place puisque les outils les plus adaptés ne sont plus au programme.
Bonne rédaction

[Carine]

Re-bonjour !

Merci et merci pour tout le temps que vous m'avez accordé !
On doit le voir mardi prochain en classe : je vous dirai avec plaisir comment notre prof le corrige.

Très bonne journée
Carine

[sos-math(21)]

Re-bonjour,
pas de problème, c'est le but du forum.
Merci pour ton retour et à bientôt sur sos-math

[carine]

Bonjour !

Je reviens vers vous car nous avons corrigé l'exercice. Le prof a fait la même chose que moi, mais beaucoup, beaucoup plus simple. Il a simplement écrit :

Soit la variable aléatoire Y qui compte le nombre de clients satisfaits dans un échantillon de 400 clients
Y--> B(400;0,98)

a tel que p(X<=a)>0,025
a=386
b tel que p(X<b)>=0,975
b=397
Dans 95% des échantillons, le nombre de personnes satisfaits est dans [386;397]

Et, finalement il ne répond même pas vraiment à la question puisqu'il ne parle par des 383 !

Je vous souhaite une très bonne journée
Carine

[sos-math(21)]

Bonjour,
il a fait plus simple juste parce qu'il n'a pas rédigé mais ta démarche est bien celle qu'il fallait faire, d'autant que cela ne correspond pas à une méthode classique du nouveau programme et qu'une rédaction détaillée me semblait nécessaire (ce que tu as très bien fait).
Il n'a pas répondu à la question car elle devait le gêner comme elle m'a gêné moi aussi.
Cela me rassure d'avoir émis les mêmes réserves que ton professeur sur cet exercice.
En tout cas, je te remercie pour l'engagement que tu avais pris de faire un retour.
Tu as parfaitement respecté cet engagement, c'est tout à ton honneur.
Bonne poursuite d'études et à bientôt sur sos-math