SOS-MATH

Bonjour,
j'ai un dm un peu compliqué, merci d'avance pour l'aide.
" Des scientifiques étudient évolutions de 2 populations de bactéries dans un même milieu.
Soit n£ N. A l'instant n, en heures, ils notent Un la populations de type A et Vn, la proportion de type B dans ce milieu. Ils définissent ainsi 2 suites (Un) et (Vn).
Grace a leur travail, ils obsersent que les deux suites vérifient, pour tout n £ N, les relations suivantes :
UN+nVn=1
-nUn+Vn=e-n

1) Déterminer l'ex^pression de Un et Vn en fonction de n
2) Crée un tableur et précisant les formules permettant d'afficher les termes des deux suites.
Puis énoncer une conjecture sur leur comportement a l'infini de ces suites
3) A partir de quel instant n les proportions du type A ainsi que B seront inférieur a 0,05%, donner en heures. ( on admet qu'ils sont strictement décroissantes )

Bonjour,
tu peux calculer les premiers termes de ta suite avec les relations en prenant \(n = 0\) dans les équations, tu dois obtenir \(u_0=1,v_0=\text{e}\)
Ensuite pour \(n>0\), tu as les relations : \(\left\lbrace \begin{array}{l}u_n+nv_n=1\\-nu_n+v_n=\text{e}-n\end{array}\right.\)
Alors tu peux obtenir l'expression de \(u_n\) et \(v_n\) par combinaison, comme pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues.
Si tu multiplies la deuxième équation par \(n>0\), tu as :
\(\left\lbrace \begin{array}{l}u_n+nv_n=1\\-n^2u_n+nv_n=\text{e}n-n^2\end{array}\right.\)
en soustrayant la deuxième équation à la première, tu élimines les \(nv_n\) et tu peux obtenir \(u_n\) en fonction de \(n\).
Il faudra faire de même pour \(v_n\) en repartant du système de départ, en multipliant la première équation par \(n\) et en additionnant les deux équations pour faire disparaître les termes en \(u_n\).
Je te laisse faire le calcul.
Bonne continuation

sos-math(21) a écrit : ↑
dim. 28 nov. 2021 09:08
Bonjour,
tu peux calculer les premiers termes de ta suite avec les relations en prenant \(n = 0\) dans les équations, tu dois obtenir \(u_0=1,v_0=\text{e}\)
Ensuite pour \(n>0\), tu as les relations : \(\left\lbrace \begin{array}{l}u_n+nv_n=1\\-nu_n+v_n=\text{e}-n\end{array}\right.\)
Alors tu peux obtenir l'expression de \(u_n\) et \(v_n\) par combinaison, comme pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues.
Si tu multiplies la deuxième équation par \(n>0\), tu as :
\(\left\lbrace \begin{array}{l}u_n+nv_n=1\\-n^2u_n+nv_n=\text{e}n-n^2\end{array}\right.\)
en soustrayant la deuxième équation à la première, tu élimines les \(nv_n\) et tu peux obtenir \(u_n\) en fonction de \(n\).
Il faudra faire de même pour \(v_n\) en repartant du système de départ, en multipliant la première équation par \(n\) et en additionnant les deux équations pour faire disparaître les termes en \(u_n\).
Je te laisse faire le calcul.
Bonne continuation

n=0: v0=1
-n^2Un+nVn=ne^(-n)

Bonjour,
Je ne comprends pas le sens de votre message.
Pourquoi citez vous mon message qui se situe juste au dessus dans ce fil ?
Pouvez-vous préciser votre demande ?
D’avance merci

SOS-MATH

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