geometrie S

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Celine

geometrie S

Message par Celine » dim. 14 nov. 2021 01:51

Bonjour, voici l'exercice qui me pose problème :

ABCDEFGH est le cube representé ci-contre,
les points M et J sont definit par DM=1/3DC
et BJ=2/3BC.

1°) Decomposer le vecteur HM en fonction des vecteurs GE et GJ.

2°) En déduire la position relative de la droite HM

Je ne sais pas du tout comment m'y prendre, Merci
Fichiers joints
Capture d’écran 2021-11-14 à 01.50.02.png
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sos-math(21)
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Re: geometrie S

Message par sos-math(21) » dim. 14 nov. 2021 09:21

Bonjour,
dans cet exercice où les relations vectorielles ne sont pas évidentes a priori, je te suggère de passer par un repère.
Par exemple, le repère \((D,\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH})\).
Détermine les coordonnées des points H,G,E,J,M dans ce repère puis calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{HM}\), \(\overrightarrow{GE}\),\( \overrightarrow{GJ}\), tu devrais voir une relation de la forme \(\overrightarrow{HM}=\ldots\times\overrightarrow{GJ}+\ldots\times \overrightarrow{GE}\).
Bon calcul
Celine

Re: geometrie S

Message par Celine » dim. 14 nov. 2021 11:06

Les coordonnées des points étants assez important pour la suite de l'exercice, pouvez vous les vérifier. Merci

J'ai H(0;0;1)
G(0;1;1)
E(0;1;1)
J(1;1;2/3)
M(0;1/3;0)
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Re: geometrie S

Message par SoS-Math(33) » dim. 14 nov. 2021 11:17

Bonjour Celine,
tu as des erreurs pour les points E et J.
Leurs coordonnées sont :
E(1;0;1)
J(1/3;1;0)
Bonne continuation
SoS-math
Celine

Re: geometrie S

Message par Celine » dim. 14 nov. 2021 11:36

En effet, après rectification j'ai comme coordonnées de vecteurs :
HM(0;1/3;-1)
GE(1;-1;0)
GJ(1;0;-1/3)
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Re: geometrie S

Message par SoS-Math(33) » dim. 14 nov. 2021 11:44

Il y a une erreur sur GJ
GJ(1/3-0 ; 1-1 ; 0-1) soit GJ(1/3;0;-1)
Il te reste à trouver la relation vectorielle maintenant.
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Re: geometrie S

Message par sos-math(21) » dim. 14 nov. 2021 11:45

Bonjour,
sauf erreur de ma part, tu dois avoir :
\(\overrightarrow{HM} \begin{pmatrix}0\\\dfrac{1}{3}\\-1\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{GE} \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{GJ} \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}\\0\\-1\end{pmatrix}\)
Est-ce que tu as cela ?
Celine

Re: geometrie S

Message par Celine » dim. 14 nov. 2021 11:49

Ah oui pardon, j'avais écrites les fausses coordonnées de J. Merci
Maintenant, comment obtenir l'expression ? HM=...GE+...GJ
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Re: geometrie S

Message par SoS-Math(33) » dim. 14 nov. 2021 12:02

Il te faut trouver \(a \) et \(b\) qui vérifie \(\overrightarrow{HM}= a\overrightarrow{GE}+b\overrightarrow{GJ}
\)
soit
\(\left ( \begin{matrix}
0\\ \dfrac{1}{3}\\-1
\end{matrix}\right) = a\left ( \begin{matrix}
1\\ -1\\0
\end{matrix}\right)+b\left ( \begin{matrix}
\dfrac{1}{3}\\ 0\\-1
\end{matrix}\right)\)
Tu devrais trouver facilement ces deux valeurs en regardant la deuxième et la troisième ligne des coordonnées.
Celine

Re: geometrie S

Message par Celine » dim. 14 nov. 2021 12:15

A vrai dire je ne sais toujours pas, en regardant les deuxièmes et troisièmes lignes, en les additionnant on obtient -1 et -1...
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Re: geometrie S

Message par SoS-Math(33) » dim. 14 nov. 2021 12:20

La deuxième ligne donne
\(\dfrac{1}{3}=a \times (-1) +b \times 0\)
tu obtiens ainsi la valeur de \(a\)
La troisième ligne donne
\(-1 = a\times 0 + b \times (-1)\)
Tu obtiens ainsi la valeur de \(b\)
Celine

Re: geometrie S

Message par Celine » dim. 14 nov. 2021 13:24

donc HM = 1/2GE -1GJ d'accord

et qu'entendent-il par position relative de (HM) et de plan (EGJ) ?
Merci
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Re: geometrie S

Message par SoS-Math(33) » dim. 14 nov. 2021 13:37

[Il y a des erreurs.

\(\dfrac{1}{3}=a \times (-1) +b \times 0\) donne \(a = -\dfrac{1}{3}\)

\(-1 = a\times 0 + b \times (-1)\) donne \(b = 1\)
donc \(\overrightarrow{HM} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GJ}\)

Une droite est soit parallèle à un plan soit sécante.
Ici le vecteur \(\overrightarrow{HM}\) est exprimé en fonction de deux vecteurs qui forme une base du plan (EGJ) donc ...
Je te laisse terminer
Invité

Re: geometrie S

Message par Invité » lun. 15 nov. 2021 12:43

SoS-Math(33) a écrit :
dim. 14 nov. 2021 13:37
[Il y a des erreurs.

\(\dfrac{1}{3}=a \times (-1) +b \times 0\) donne \(a = -\dfrac{1}{3}\)

\(-1 = a\times 0 + b \times (-1)\) donne \(b = 1\)
donc \(\overrightarrow{HM} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GE} + \overrightarrow{GJ}\)

Une droite est soit parallèle à un plan soit sécante.
Ici le vecteur \(\overrightarrow{HM}\) est exprimé en fonction de deux vecteurs qui forme une base du plan (EGJ) donc ...
Je te laisse terminer
Bonjour, j'ai répondu que la droite HM est parallèle à GEJ
C'est juste?
Merci
sos-math(21)
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Re: geometrie S

Message par sos-math(21) » lun. 15 nov. 2021 13:12

Bonjour,
si tu as montré que ton vecteur \(\overrightarrow{HM}\) était une combinaison linéaire des deux vecteurs de la base \((\overrightarrow{GE},\overrightarrow{GJ})\) du plan \((GEJ)\), alors cela signifie bien que ta droite \((HM)\) est parallèle au plan \((GEJ)\).
Bonne continuation
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