SOS-MATH

ABCD est un tétraèdre.
I est le milieu de l'arête [BC] et K est le mlieu du segement [ID.

1)Demontrer que AK=1/4AB+1/4AC+1/2AD

2)Quelles sont les coordonnées du point K dans le repère (A;AB,AC,AD) ?

Bonjour Celine ,
sur le forum la politesse et la courtoisie sont de rigueur donc un message commence par un bonjour et se termine par un merci, ce qui est beaucoup plus agréable.
Ensuite le forum n'ayant pas pour but de faire l'exercice à ta place, il est souhaitable que tu indiques les recherches déjà entreprises et qui te posent problème.

Pour la première question tu peux partir de \(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\) et en introduisant le point \(K\) avec la théorème de Chasles, puis en faisant intervenir le point \(I\) montrer que tu obtiens \(\overrightarrow{AK}\)
\(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB})+\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KC})+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KD})\)
Je te laisse poursuivre

Pour la seconde question je te conseille de visionner cette vidéo du site jaicompris.com



SoS-math

Bonjour,
Tu peux partir de la somme \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AD}\) et intercaler le point \(K\) milieu de \([ID]\) par la relation de Chasles :
\(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KD}=2\overrightarrow{AK}+\underbrace{\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{KD}}_{=\overrightarrow{0}}\) donc \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AK}\)
Tu peux ensuite refaire la même chose avec \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) et \(I\) milieu de \([BC]\) pour obtenir une expression de \(\overrightarrow{AI}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Il te restera à combiner les deux expressions pour avoir ce qui est demandé.
On aurait pu aller plus vite en utilisant une propriété intéressante du milieu d'un segment du plan ou de l'espace :
Si un point \(I\) est le milieu d'un segment \([AB]\), alors pour tout point \(M\) du plan ou de l'espace, \(\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})\). La connaissais-tu ?
Bonne continuation

Bonjour, je m'excuse, je suis complètement perdue pour la première question. Cependant j'ai compris le principe de la deuxième.
Voici mon début de travail :

1°) AI + AD = AK + KI + AK +KD
= 2AK +KI +KD
= 2AK

AB+AC = AK + KB + AK + KC
= 2AK + KB + KC
= 2AK

2°) AB + BI + IK K (1;1/2;1/2) ?
AB + 1/2BC +1/2ID
AB + 1/2AC + 1/2AD

Bonjour Céline,
Pour la question a),
Dans la première expression, on a fait intervenir K car K milieu de [ID] donc Vect(KI) + Vect(KD) = 0.
mais pour vect(AB) + Vect(AC), il faut faire intervenir le point I et non le point K car I milieu de [BC] donne Vect(IB) + Vect(IC) = 0.

Montres alors Vect(AB) + Vect(AC) = 2 Vect(AI) (*)

Ensuite comme 2Vect(AK) = Vect(AI) + Vect(AD) alors 4 Vect(AK) = 2 Vect(AI) + 2 Vect(AD)

D'après (*) , 4 Vect(AK) = 2 Vect(AI) + 2 Vect(AD) = Vect(AB) + Vect(AC) + 2 Vect(AD)

Tu trouveras alors l'égalité vectorielle demandée.

Pour la question b),
Il faut utiliser les coefficients de a).

Pardon je rectifie AB + AC = AI +IB +AI +IC
= 2AI = IB + IC
= 2AI

mais je ne comprends toujours pas la suite, que vient après avoir prouvé que AI +AD = 2AK
et AB + AC = 2AI

Tu as montré vect(AI) +vect(AD) = 2vect(AK), tu en déduis 4 vect(AK) = 2 vect(AI) + 2 Vect(AD) ensuite tu remplaces 2 vect(AI) par vect(AB) + Vect(AC)
Pour les coordonnées, c'est bon.

Mais on ne trouve pas ce qui est demandé ?

Bonjour,
avec la méthode que tu as choisi tu obtiens :
\(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KD}\)
\(=2\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{KD}\)
\(=2\overrightarrow{AK}\)
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{AI}\)
d'où \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)
Ainsi \(\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AK}\)
Ce qui donne \(\overrightarrow{AK} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)
Comprends tu?
SoS-math

Bonjour, d'accord je viens de comprendre, je vous remercie beaucoup.
Cependant juste avant de conclure cette discussion j'aurais aimé savoir quelle autre méthode était possible pour cet exercice.
Merci encore.

Bonjour,

En lien avec l'autre sujet sur l'espace, tu peux aussi passer par les coordonnées de chaque point dans un repère adapté de l'espace (par exemple
\((A; \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})\). Tu devrais arriver à la même conclusion.

Bon courage