géométrie dans l'espace

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Celine

géométrie dans l'espace

Message par Celine » sam. 13 nov. 2021 01:25

ABCD est un tétraèdre.
I est le milieu de l'arête [BC] et K est le mlieu du segement [ID.

1)Demontrer que AK=1/4AB+1/4AC+1/2AD

2)Quelles sont les coordonnées du point K dans le repère (A;AB,AC,AD) ?
Fichiers joints
Capture d’écran 2021-11-13 à 01.15.24.png
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SoS-Math(33)
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Re: géométrie dans l'espace

Message par SoS-Math(33) » sam. 13 nov. 2021 09:17

Bonjour Celine ,
sur le forum la politesse et la courtoisie sont de rigueur donc un message commence par un bonjour et se termine par un merci, ce qui est beaucoup plus agréable.
Ensuite le forum n'ayant pas pour but de faire l'exercice à ta place, il est souhaitable que tu indiques les recherches déjà entreprises et qui te posent problème.

Pour la première question tu peux partir de \(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\) et en introduisant le point \(K\) avec la théorème de Chasles, puis en faisant intervenir le point \(I\) montrer que tu obtiens \(\overrightarrow{AK}\)
\(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB})+\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KC})+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KD})\)
Je te laisse poursuivre

Pour la seconde question je te conseille de visionner cette vidéo du site jaicompris.com



SoS-math
sos-math(21)
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Re: géométrie dans l'espace

Message par sos-math(21) » sam. 13 nov. 2021 09:18

Bonjour,
Tu peux partir de la somme \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AD}\) et intercaler le point \(K\) milieu de \([ID]\) par la relation de Chasles :
\(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KD}=2\overrightarrow{AK}+\underbrace{\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{KD}}_{=\overrightarrow{0}}\) donc \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AK}\)
Tu peux ensuite refaire la même chose avec \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) et \(I\) milieu de \([BC]\) pour obtenir une expression de \(\overrightarrow{AI}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Il te restera à combiner les deux expressions pour avoir ce qui est demandé.
On aurait pu aller plus vite en utilisant une propriété intéressante du milieu d'un segment du plan ou de l'espace :
Si un point \(I\) est le milieu d'un segment \([AB]\), alors pour tout point \(M\) du plan ou de l'espace, \(\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})\). La connaissais-tu ?
Bonne continuation
Celine

Re: géométrie dans l'espace

Message par Celine » sam. 13 nov. 2021 11:12

Bonjour, je m'excuse, je suis complètement perdue pour la première question. Cependant j'ai compris le principe de la deuxième.
Voici mon début de travail :

1°) AI + AD = AK + KI + AK +KD
= 2AK +KI +KD
= 2AK

AB+AC = AK + KB + AK + KC
= 2AK + KB + KC
= 2AK

2°) AB + BI + IK K (1;1/2;1/2) ?
AB + 1/2BC +1/2ID
AB + 1/2AC + 1/2AD
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Re: géométrie dans l'espace

Message par SoS-Math(31) » sam. 13 nov. 2021 12:11

Bonjour Céline,
Pour la question a),
Dans la première expression, on a fait intervenir K car K milieu de [ID] donc Vect(KI) + Vect(KD) = 0.
mais pour vect(AB) + Vect(AC), il faut faire intervenir le point I et non le point K car I milieu de [BC] donne Vect(IB) + Vect(IC) = 0.
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Re: géométrie dans l'espace

Message par SoS-Math(31) » sam. 13 nov. 2021 12:14

Montres alors Vect(AB) + Vect(AC) = 2 Vect(AI) (*)

Ensuite comme 2Vect(AK) = Vect(AI) + Vect(AD) alors 4 Vect(AK) = 2 Vect(AI) + 2 Vect(AD)

D'après (*) , 4 Vect(AK) = 2 Vect(AI) + 2 Vect(AD) = Vect(AB) + Vect(AC) + 2 Vect(AD)

Tu trouveras alors l'égalité vectorielle demandée.
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Re: géométrie dans l'espace

Message par SoS-Math(31) » sam. 13 nov. 2021 12:17

Pour la question b),
Il faut utiliser les coefficients de a).
Celine

Re: géométrie dans l'espace

Message par Celine » sam. 13 nov. 2021 12:39

SoS-Math(31) a écrit :
sam. 13 nov. 2021 12:14
Vect(AB) + Vect(AC) = vect(AI) + vect(IB) + vect(AI) + vect(ID)
= 2vect(AI) +vect(IB) + vect(ID)
= 2 Vect(AI) (*)

Ensuite comme 2Vect(AK) = Vect(AI) + Vect(AD) alors 4 Vect(AK) = 2 Vect(AI) + 2 Vect(AD) pourquoi ??

D'après (*) , 4 Vect(AK) = 2 Vect(AI) + 2 Vect(AD) = Vect(AB) + Vect(AC) + 2 Vect(AD) ???????

et les coordonnée de K sont donc K(1/4;1/4;1/2) ?
Celine

Re: géométrie dans l'espace

Message par Celine » sam. 13 nov. 2021 12:44

Pardon je rectifie AB + AC = AI +IB +AI +IC
= 2AI = IB + IC
= 2AI

mais je ne comprends toujours pas la suite, que vient après avoir prouvé que AI +AD = 2AK
et AB + AC = 2AI
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Re: géométrie dans l'espace

Message par SoS-Math(31) » sam. 13 nov. 2021 13:18

Tu as montré vect(AI) +vect(AD) = 2vect(AK), tu en déduis 4 vect(AK) = 2 vect(AI) + 2 Vect(AD) ensuite tu remplaces 2 vect(AI) par vect(AB) + Vect(AC)
Pour les coordonnées, c'est bon.
Celine

Re: géométrie dans l'espace

Message par Celine » sam. 13 nov. 2021 14:42

Mais on ne trouve pas ce qui est demandé ?
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Re: géométrie dans l'espace

Message par SoS-Math(33) » sam. 13 nov. 2021 15:03

Bonjour,
avec la méthode que tu as choisi tu obtiens :
\(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KD}\)
\(=2\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{KD}\)
\(=2\overrightarrow{AK}\)
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{AI}\)
d'où \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)
Ainsi \(\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AK}\)
Ce qui donne \(\overrightarrow{AK} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)
Comprends tu?
SoS-math
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Re: géométrie dans l'espace

Message par Celine » sam. 13 nov. 2021 16:11

Bonjour, d'accord je viens de comprendre, je vous remercie beaucoup.
Cependant juste avant de conclure cette discussion j'aurais aimé savoir quelle autre méthode était possible pour cet exercice.
Merci encore.
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Re: géométrie dans l'espace

Message par SoS-Math(25) » sam. 13 nov. 2021 16:21

Bonjour,

En lien avec l'autre sujet sur l'espace, tu peux aussi passer par les coordonnées de chaque point dans un repère adapté de l'espace (par exemple
\((A; \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})\). Tu devrais arriver à la même conclusion.

Bon courage
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