SOS-MATH

Bonjour,
J'ai un DM (sujet en pièce jointe).

Je n'arrive pas à faire la question Partie 1 2°) b).
Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?

Merci.

Bonjour,
on te demande dans la question a) de mettre l'expression \(x\text{e}^{-2x+1}\) sous une forme qui permette l'application d'une limite connue.
\(x\text{e}^{-2x+1}=x\text{e}^1\text{e}^{-2x}=(-0,5\times \text{e}^1)\times (-2x)\text{e}^{-2x}\)
Or on sait que \(\lim_{x\to -\infty}x\text{e}^x=0\) (limite classique : croissance comparée de la fonction exponentielle).
Or en posant \(X=-2x\), on a \(\lim_{x\to +\infty} (-2x)\text{e}^{-2x}=\lim_{X\to-\infty} X\text{e}^X=0\)
Ce qui te permet de conclure sur la limite en \(+\infty\) de \(x\text{e}^{-2x+1}\).
Avec l'inégalité que tu as prouvée à la question 1, il devrait être facile de montrer que \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\)
Bonne poursuite d'exercice

Merci beaucoup, j'ai compris l'exercice.