SOS-MATH

Bonjour

(c'est mon dernier sujet de la soirée, je ne vous dérange plus après ca !)

Je dois étudier les limites de cette fonction : f(x) = e(x) / e(x) +c avec c un réel.

Que puis je faire ? décomposer f(x) ?
Ce qui m'embete, c'est le c, étant un réel, il peut prendre n'importe quelle valeur...positif, négatif, petit, infiniment grand...

Mais de l'autre coté, après réflexion, je propose la piste suivante : e^x "l'emporte" sur toute les autres fonctions, car elle tend plus vite que les autres fonctions...

Qu'en pensez vous ?
Quelles sont les limites en + ou - l'infini ?

Merci de votre aide !

Bonjour,
le fait que tu ne connaisses pas "c" n'est pas un problème : "c" est une constante, c'est-à-dire qu'elle ne bouge pas lors de ton étude.
Donc lorsque tu étudies le comportement à l'infini de ta fonction, tu pourras toujours trouver x assez grand en valeur absolue de telle sorte que e^x+c ne s'annule plus : s'il y a une valeur interdite qui annule le dénominateur, on se place avant ou bien après selon la limite que l'on veut chercher.
Si c=0 ta fonction est constante égal à 1 donc les limites sont faciles à trouver.
Si c est différent de 0, alors :
- la limite en - l'infini est facile à trouver car le numérateur tend vers 0 et le dénominateur tend vers c différent de 0.
- la limite en + l'infini se trouve grâce à une factorisation qui va lever la forme indéterminée : exp(x)/(exp(x)+c)=exp(x)*1/(exp(x)(1+c/exp(x))=1/(1+c/exp(x)).
Ce quotient doit tendre vers lorsque x tend vers + l'infini.
Je te laisse rédiger et je te prie de m'excuser pour les notations : le gestionnaire de formules mathématiques du forum ne fonctionne plus en ce moment.
Bonne continuation

Ne vous excusez pas ! C'est moi qui vous remercie du temps que vous m'accordez bénévolement !

Je ferai tout ca demain matin lors du petit déjeuner !

A demain !

Bonjour,

En suivant vos indications, j'ai essayé de résoudre l'exercice.

Petite précision : c est défini sur R+,.j'avais oublié de le dire !

- lorsque x tend vers + l'infini : j'ai simplifié votre factorisation :
f(x) = 1/((1+c)/exp(x)) = exp (x) / 1+c

Le numérateur tend vers + l'infini et l'emporte sur 1+c au numérateur.

Dv f(x) tend vers + l'infini lorsque x tend vers +l'infini.

- en revanche, lorsque x rend vers - l'infini, la limite de f(x) est...0/c ? Euhh...
En effet le numérateur tend vers 0 comme vous l'avez expliqué et le dénominateur tend vers c différent de 0.

Est ce juste ?

Bonjour,
attention, ma factorisation n'est pas celle que tu utilises :
j'ai écrit :f(x)=exp(x)/(exp(x)+c)=[exp(x)*1] / [exp(x)(1+c/exp(x))]=1/(1+c/exp(x)).
Lorsque x tend vers + l'infini exp(x) tend vers + l'infini donc c/exp(x) tend vers 0 et le quotient tend vers 1.
Pour - l'infini, si tu me dis que ta fonction est définie sur R+, il n'y a pas lieu d'étudier la limite en - l'infini...
Reprends cette factorisation qui serait plus lisible si on avait accès aux formules mathématiques.
Bonne continuation

Bonjour SOS21

Pour + l'infini c'est compris ! J'avais mal compris votre factorisation. Mais là c'est clair.

La limite de f(x) lorsque tend vers + l'infini est 1.

Mais je n'ai pas compris pourquoi on ne peut pas étudier la limite en - l'infini.
Ah pardon ! Je viens de relire tout ça, ma fonction est définie sur R* donc sur ] - l'infini ; 0 [ U ] 0 ; +.l'infini [
Excusez moi pour ma faute de frappe !

Donc ma limite en moins l'infini prend la forme de 0/c. Qu'est ce que cela veut dire ?

Merci de votre attention

Bonjour,
dans un message précédent, j'avais évoqué que si c était différent de 0, alors la limite est bien "0/c" ce qui vaut 0.
Bonne continuation

Merci SOS 21 !

C'est compris !

J'ai une question pour être curieux.

Est ce qu'on peut dire que la limite en + l'infini était prévisible ? f(x) = exp(x)/exp(x)+c
Le c est négligeable par rapport à exp(x) qui tentent vers + l'infini. Le numérateur et le dénominateur tendent vers une même limite, donc tend vers 1.

Est ce juste de raisonner comme ca ?

Bonjour,
Oui, c'est une bonne remarque.
La notion d'équivalent ou de développement asymptotique te permet de justifier cela mais ce sont des notions que l'on voit en bac +1 ou bac+2.
Peut-être les verras tu dans ta formation.
Bonne continuation

sos-math(21) a écrit : ↑

mar. 12 oct. 2021 20:09

mais ce sont des notions que l'on voit en bac +1 ou bac+2

Je suis bien à l'université, j'espère que je verrai bientot cette notion alors ! J'aime beaucoup les maths en ce moment !

Merci de votre temps SOS21, à bientot sur le forum !

Bonsoir,
si tu es en université scientifique, il y a de grandes chances pour que tu abordes ces notions qui permettent de lever des formes indéterminées pour les limites de fonctions : équivalents, développements limités, développements asymptotiques....
Bonne continuation

Bonsoir SOS 21

sos-math(21) a écrit : ↑

mar. 12 oct. 2021 20:19

équivalents, développements limités, développements asymptotiques....

Je ne sais pas si vous faites référence à cela, mais pour lever une indétermination avec un quotient dont le numérateur et le dénominateur son des polynômes, mon cours m'apprend à regarder l'ordre du polynôme.

Soit P(x) anx^n + bnx^n-1 + ...+anx
Soit Q(x) amx^m + bnx^m...+bnx

Si par exemple n>m et an/bm >0, le quotient P/Q tend vers + l'infini
Si par exemple n>m et an/bm <0, le quotient P/Q tend vers - l'infini

Voilà !

Dans quelques semaines, j'ai aussi les développements limités !

A bientot SOS 21 !

Bonsoir,
oui ce sont les théorèmes classiques de limites de fractions rationnelles que l'on peut justifier justement en factorisant par la plus grande puissance de x au numérateur et au dénominateur, comme tu l'as fait avec l'exponentielle.
Les propriétés que tu vas aborder prochainement vont te permettre d'aller encore plus loin dans l'étude locale des fonctions ou au voisinage de l'infini.
Bonne découverte