Résoudre une équation

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Lucille

Résoudre une équation

Message par Lucille » lun. 11 oct. 2021 11:20

Bonjour, svp j'ai une equation à résoudre racine carré(x^2 +3x-1)=2x-1 dans R.
J'ai trouvé le domaine de définition mais je n'arrive pas à résoudre.
Merci beaucoup de votre aide
sos-math(21)
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Re: Résoudre une équation

Message par sos-math(21) » lun. 11 oct. 2021 11:39

Bonjour,
une fois que tu as déterminé le domaine de validité de ton équation, il faut la résoudre en cherchant à faire disparaitre la racine carrée.
Il faut donc élever au carré les deux membres de l'équation et résoudre cette nouvelle équation.
Il faudra ensuite vérifier que les solutions que tu trouveras son bien dans le domaine de validité de l'équation.
Bon calcul
Lucille

Re: Résoudre une équation

Message par Lucille » lun. 11 oct. 2021 13:30

Merci pour votre réponse et votre conseil
Je sait que la racine carré est défini pour x^2+3x-1>=0 alors j'ai j'ai fait elta 9-4×-1=13 et je trouve D=]-infini,-3/2-rc13/2] union [-3/2+rc13/2,+infini[
Puis j'ai élever au carré x^2+3x-1=4x^2-4x+1
3x^2-7x+2=0 et je trouve 2 solution x=1/3 et x=2
Ensuite j'ai vérifié que 1/3=0,3333 .. et 2 sont bien dans D
J'ai détailler le cacul pour voir s'il y à des erreurs.
Merci de me dire si c'est bon.
sos-math(21)
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Re: Résoudre une équation

Message par sos-math(21) » lun. 11 oct. 2021 13:44

Bonjour,
es-tu sûre qu'1/3 fait partie des solutions ?
Peux-tu vérifier ton calcul ?
Bonne continuation
Lucille

Re: Résoudre une équation

Message par Lucille » mar. 12 oct. 2021 09:16

Bonjour,
J'ai refait mon calcule et je trouve D=]-infini,-3/2-rc13/2]U[-3/2+rc13/2,+infini[
Et x1=1/3 et x2=2.
Et j'ai vérifier 1/3 et 2.sont bien dans D.
Je ne voit pas l'erreur
sos-math(21)
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Re: Résoudre une équation

Message par sos-math(21) » mar. 12 oct. 2021 14:00

Bonjour,
Je pensais au début que l'une de tes solutions n'était pas dans le domaine de validité de l'équation mais ce n'est pas le cas (je n'avais pas fait le calcul).
Le problème est donc ailleurs et vient du passage au carré : quand tu élèves au carré les deux membres de ton équation tu perds l'équivalence des équations.
Cela signifie que les solutions de l'équation sqrt(x^2+3x-1)=2x-1 sont incluses dans les solutions x^2+3x-1=(2x-1)^2 mais la réciproque n'est pas forcément vraie.
C'est le cas ici : si tu remplaces x dans l'équation initiale par ton candidat solution 1/3 tu obtiens 1/3 à gauche et -1/3 à droite ce qui prouve que 1/3 n'est pas solution de l'équation de départ (mais lorsqu'on élève au carré, 1/3 redevient solution car deux nombres opposés ont le même carré).
Pour résumé, ton passage au carré n'amène pas à une équation équivalente (c'est-à-dire qui a les mêmes solutions) donc il faut vérifier que les solutions que tu as trouvées à la fin sont bien solutions de l'équation initiale.
En faisant cela, il ne reste que 2 pour solution.
Bonne continuation
Lucille

Re: Résoudre une équation

Message par Lucille » mar. 12 oct. 2021 15:25

sos-math(21) a écrit :
mar. 12 oct. 2021 14:00
Bonjour,
Je pensais au début que l'une de tes solutions n'était pas dans le domaine de validité de l'équation mais ce n'est pas le cas (je n'avais pas fait le calcul).

Bonjour et merci pour votre réponse
Mais je ne comprend pas qu'une solution est dans le domaine de validité et n'est pas solution de l'équation ?
A quoi il sert ce domaine de validité alors?
Surtout qu'il n'etait pas facile à trouvé ?
sos-math(21)
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Re: Résoudre une équation

Message par sos-math(21) » mar. 12 oct. 2021 16:26

Bonjour,
le domaine de validité est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles les deux membres de l'équation ont un sens.
Il sert à pouvoir manipuler l'équation dans un espace autorisé.
Dans ton cas, tu ne résous pas l'équation initiale mais une autre équation que tu as obtenue en élevant au carré les deux membres.
Or ces deux équations ne sont pas équivalentes.
En effet, si deux nombres sont égaux alors ils ont le même carré mais la réciproque est fausse : si deux nombres ont le même carré, alors ils ne sont pas forcément égaux (ils peuvent être opposés, et c'est le cas ici).

Si tu as un doute sur l'équivalence des équations, tu fais ton calcul comme dans ton message puis tu vérifies si les deux "candidats" solutions sont aussi solutions de l'équation initiale, ce qui va éliminer la solution 1/3.
Cela te permet en plus de vérifier si tu n'as pas fait d'erreur de calcul.

Mais on peut aborder le problème différemment en utilisant l'équivalence suivante :
l'équation racine(a)=b est équivalente à ces deux conditions : b≥0 ET a=b^2
Si tu avais travaillé ainsi, tu aurais obtenu x^2+3x-1=(2x-1)^2 ET 2x-1>=0, ce qui aurait mené à la seule solution 2. (car la solution 1/3 ne vérifie pas 2x-1>=0
Le mieux serait que tu en parles à ton professeur pour qu'il te précise ce qu'il attend dans ce type d'exercice.
Bonne continuation
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