Limite de la fonction sin(1/x)

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Terminale S+2

Limite de la fonction sin(1/x)

Message par Terminale S+2 » lun. 11 oct. 2021 09:27

Bonjour,

Pourrais je avoir un peu d'aide pour calculer la limite de la fonction f(x) = sin (1/x) s'il vous plait ?

J'ai réussi à déterminer les limites en + et - l'infini.

Cependant, je ne sais pas trop comment trouver celle de 0+ et 0-.

Je sais que la limite de 1/x lorsque x tend vers 0+ est + l'infini; et que la limite de 1/x lorsque x tend vers 0- est moins l'infini.

Mais comment l'appliquer dans la fonction f(x), pour avoir la limite de f(x) en + ou - l'infini ?
Lorsque x tend vers 0+, f(x) tend...vers sin (+l'infini)...?

Comment trouver le résultat ?
Graphiquement, je pense que ca tend vers 1 et -1.

Merci de votre attention
sos-math(21)
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Re: Limite de la fonction sin(1/x)

Message par sos-math(21) » lun. 11 oct. 2021 10:36

Bonjour,
en effectuant le changement de variable X=1/x, tu vois que la limite de sin(1/x) à droite de zéro (quand x->0, avec x>0) est égale à la limite de sin(X) quand X tend vers + l'infini.
Or que sais-tu de la limite de la fonction sinus en + l'infini ?
Je te laisse conclure.
Bonne continuation
Terminale S+2

Re: Limite de la fonction sin(1/x)

Message par Terminale S+2 » lun. 11 oct. 2021 19:12

Bonjourrrrrrrr SOS 21 ! je suis content de voir recroiser !
sos-math(21) a écrit :
lun. 11 oct. 2021 10:36
Or que sais-tu de la limite de la fonction sinus en + l'infini ?
Je ne suis pas sur de voir où est ce que vous voulez en venir.

Je n'ai pas étudié la limite de sin(x) en + et - l'infini...et je ne sais pas comment la trouver, car sin(x) est une fonction périodique qui fluctue perpétuellement entre -1 et 1

Peut on dire que la limite de de sin(x) en + et - l'infini n'existe pas ?
sos-math(21)
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Re: Limite de la fonction sin(1/x)

Message par sos-math(21) » lun. 11 oct. 2021 20:12

Bonjour,
merci ton début de message :)
Pour répondre à ta question, c'est exactement cela : la fonction sinus n'admet pas de limite en - l'infini ni en + l'infini donc la fonction x->sin(1/x) n'admet pas non plus de limite en 0 (à gauche comme à droite).
Comme tu peux le voir, la courbe oscille vraiment beaucoup (entre -1 et 1) au voisinage de 0, ce qui illustre le fait qu'elle ne puisse avoir de limite en 0.
Bonne continuation
Terminale S+2

Re: Limite de la fonction sin(1/x)

Message par Terminale S+2 » lun. 11 oct. 2021 21:26

Merci SOS 21 !

Donc, si j'ai bien compris, f(x) = sin (1/x) est définie sur R* ou encore ]-l'infini; 0-[ U ]0+; + l'infini[ admet 2 limites :

- une limite en + l'infini qui vaut 0
- une limite en - l'infini qui faut 0 également.

Pas de limite en 0+ et 0-.

C'est ca ?

J'ai toujours imaginé qu'une fonction avait toujours une limite à toute les bornes de son ensemble de définition...mais vous m'avez montré que ce n'est pas le cas !
sos-math(21)
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Re: Limite de la fonction sin(1/x)

Message par sos-math(21) » lun. 11 oct. 2021 21:34

Bonjour,
oui c'est cela.
Je ne t'ai rien montré, c'est toi qui est venu avec cet exemple (très classique) qui permet de constater ce que tu as très bien décrit : il existe des fonctions qui n'admettent pas de limite à gauche ni de limite à droite en certains points.
Bonne continuation
Invité

Re: Limite de la fonction sin(1/x)

Message par Invité » lun. 11 oct. 2021 22:04

Merci de votre temps SOS 21 !

C'est compris !
sos-math(21)
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Re: Limite de la fonction sin(1/x)

Message par sos-math(21) » mar. 12 oct. 2021 06:41

Bonjour,
Tant mieux si tu as compris.
Je verrouille le sujet.
À bientôt sur sos-math
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