suite récurrente d'ordre 2

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Bilal

suite récurrente d'ordre 2

Message par Bilal » mer. 29 sept. 2021 19:35

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre cette question et je n'arrive pas non plus à utiliser l'éditeur d'équation:
soit u_n la suite définie par : u_0=-3 et u_1=4
et pour tout n>=0
u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_{n}

Soit a un réel et soit (b_n) la suite réelle définie pour tout n>=0 par : b_n=a^n *u_n.
Montrer que pour que(b_n) soit arithmétique, a doit nécessairement être égal à 1/3

Merci de votre aide !
sos-math(21)
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Re: suite récurrente d'ordre 2

Message par sos-math(21) » mer. 29 sept. 2021 20:39

Bonjour,
si on suppose que \(b_n=a^n u_n\) est arithmétique, alors cela signifie que l'écart entre deux termes successifs est constant (il est égal à la raison).
Donc, en particulier, on a : \(b_2-b_1=b_1-b_0\).
Or \(b_0=a^0\times u_0=u_0=-3\),
\(b_1=a\times u_1=4a\)
et \(b_2=a^2\times u_2=a^2\times (6\times u_1-9\times u_0)=a^2\times (6\times 4-9\times (-3))=51a^2\) en utilisant la relation de récurrence.
Tu aboutis à une équation d'inconnue \(a\) : \(b_2-b_1=b_1-b_0\Longleftrightarrow 51a^2-4a=4a+3\), je te laisse alors résoudre cette équation du second degré.
Bonne continuation
Bilal

Re: suite récurrente d'ordre 2

Message par Bilal » jeu. 30 sept. 2021 06:36

Merci de votre réponse !
Cela va beaucoup m'aider.
sos-math(21)
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Re: suite récurrente d'ordre 2

Message par sos-math(21) » jeu. 30 sept. 2021 08:06

Bonjour,
en ce moment, les formules ne s'affichent pas toujours sur le forum...j'espère que tu as pu comprendre ce que j'ai écrit.
Bonne continuation
Bilal

Re: suite récurrente d'ordre 2

Message par Bilal » jeu. 30 sept. 2021 10:49

Bonjour,
L'équation 51a²-8a-3=0 à deux solutions a=-3/17 et a=1/3.
Mais pourquoi dans l'énoncé on dit que a doit nécessairement être égal à 1/3 ?
Merci pour votre réponse.
sos-math(21)
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Re: suite récurrente d'ordre 2

Message par sos-math(21) » jeu. 30 sept. 2021 11:58

Bonjour,
pour vérifier si les deux peuvent fonctionner, alors je te conseille de calculer les premiers termes b0,b1,b2,b3 de la suite lorsque a=-3/17.
Normalement, tu dois trouver une différence lorsque tu calcules les trois différences : b1-b0, b2-b1, b3-b2.
Ce qui éliminera le candidat a=-3/17.
Bonne continuation
SoS-Math(31)
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Re: suite récurrente d'ordre 2

Message par SoS-Math(31) » ven. 1 oct. 2021 13:47

Bonjour invité,
Si on calcule b3
Avec l'expression de bn en fonction de a et u, on trouve b3 = a^3 *270 = 10
Comme b est arithmétique de raison b1 - b0 = 4a + 3 alors b3 = b2 + raison = b3 + 4a + 3 = 469/10 + 4(1/3) + 3 = 10 .
Invité

Re: suite récurrente d'ordre 2

Message par Invité » sam. 2 oct. 2021 14:32

SoS-Math(31) a écrit :
ven. 1 oct. 2021 13:47
Bonjour invité,
Si on calcule b3
Avec l'expression de bn en fonction de a et u, on trouve b3 = a^3 *270 = 10
Comme b est arithmétique de raison b1 - b0 = 4a + 3 alors b3 = b2 + raison = b3 + 4a + 3 = 469/10 + 4(1/3) + 3 = 10 .
Désolée, mais je ne comprends pas votre calcul .
b3=10.
b3=b2+raison =10 .
Mais quel est la conclusion ?
Merci
SoS-Math(31)
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Re: suite récurrente d'ordre 2

Message par SoS-Math(31) » sam. 2 oct. 2021 14:38

Bonjour,

1/3 peut convenir pour b3 alors que -3/17 ne convient pas car cela ne donne pas la même valeur pour les deux calculs.
a = 1/3 est donc nécessaire mais cela peut ne pas suffire.
Invité

Re: suite récurrente d'ordre 2

Message par Invité » dim. 3 oct. 2021 11:58

SoS-Math(31) a écrit :
sam. 2 oct. 2021 14:38
Bonjour,

1/3 peut convenir pour b3 alors que -3/17 ne convient pas car cela ne donne pas la même valeur pour les deux calculs.
Merci pour votre réponse
Ce que je comprend pas pourquoi a=1/3 peut convenir pour b3 mais peut-être ne convient pas pour n=100 par exemple ?
Merci.
SoS-Math(31)
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Re: suite récurrente d'ordre 2

Message par SoS-Math(31) » jeu. 7 oct. 2021 09:18

Bonjour,

1/3 peut convenir pour b3 alors que -3/17 ne convient pas car cela ne donne pas la même valeur pour les deux calculs.
a = 1/3 est donc nécessaire mais cela peut ne pas suffire.
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