Dans l'exercice de spécialité de ce sujet :
A est l'ensemble des entiers de 1 à 46
Démontrer que pour tout entier p de A
il existe un entier q de A
tel que p*q soit congru à 1 modulo 47
?
Merci !
Bac S - Amérique - 4 juin 2009
-
sos-math(13)
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Re: Bac S - Amérique - 4 juin 2009
Bonjour,
l'équation diophantienne résolue plus haut permet d'affirmer, d'après le théorème de Bachet-Bézout, dont il faut vérifier les conditions d'application, qu'une solution dans [1;46] existe toujours et est unique.
Il te reste le travail de rédaction.
à bientôt sur sos-math.
l'équation diophantienne résolue plus haut permet d'affirmer, d'après le théorème de Bachet-Bézout, dont il faut vérifier les conditions d'application, qu'une solution dans [1;46] existe toujours et est unique.
Il te reste le travail de rédaction.
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sos-math(13)
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Re: Bac S - Amérique - 4 juin 2009
Pour voir ce dont on parle (cliquer sur l'image pour l'agrandir) :
-
Invité
Re: Bac S - Amérique - 4 juin 2009
Je m'étais demandé s'il n' y avait pas un lien avec la toute première question ...
En explorant votre piste, voici ce qui m'est (laborieusement) venu :
p*q congru à 1 modulo 47 peut s'écrire
il existe un entier k tel que p*q = 47*k + 1
il existe un entier k tel que p*q + 47*(-k) = 1
étudions l'équation diophantienne en q et k
p*q + 47*(-k) = 1
p (entier naturel inférieur à 47) et 47 sont forcément premiers entre eux
l'équation a donc au moins un couple solution (po;ko) et peut donc devenir
p*(q - qo) + 47*(-k + ko) = 0
p*(q - qo) = 47*(k - ko)
47 divise p*(q - qo) alors qu'il est premier avec p
47 divise donc q - qo
il existe donc un entier h tel que q - qo = 47*h
il existe donc un entier h tel que q = qo + 47*h
q dans [0;47[
équivaut à qo + 47*h dans [0;47[
équivaut à h dans [- qo/47; -qo/47 + 1[
cet intervalle d'amplitude 1 contient forcément un entier h
il existe donc bien un q sans [0;47[
si q était nul, on aurait 47*(-k) = 1 ce qui est impossible
il existe donc bien un q dans [1;46] !
mais n'est-ce pas un peu compliqué ?
n'y a-t-il pas plus simple ?
Merci pour l'indication !
En explorant votre piste, voici ce qui m'est (laborieusement) venu :
p*q congru à 1 modulo 47 peut s'écrire
il existe un entier k tel que p*q = 47*k + 1
il existe un entier k tel que p*q + 47*(-k) = 1
étudions l'équation diophantienne en q et k
p*q + 47*(-k) = 1
p (entier naturel inférieur à 47) et 47 sont forcément premiers entre eux
l'équation a donc au moins un couple solution (po;ko) et peut donc devenir
p*(q - qo) + 47*(-k + ko) = 0
p*(q - qo) = 47*(k - ko)
47 divise p*(q - qo) alors qu'il est premier avec p
47 divise donc q - qo
il existe donc un entier h tel que q - qo = 47*h
il existe donc un entier h tel que q = qo + 47*h
q dans [0;47[
équivaut à qo + 47*h dans [0;47[
équivaut à h dans [- qo/47; -qo/47 + 1[
cet intervalle d'amplitude 1 contient forcément un entier h
il existe donc bien un q sans [0;47[
si q était nul, on aurait 47*(-k) = 1 ce qui est impossible
il existe donc bien un q dans [1;46] !
mais n'est-ce pas un peu compliqué ?
n'y a-t-il pas plus simple ?
Merci pour l'indication !
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sos-math(13)
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Re: Bac S - Amérique - 4 juin 2009
ça me semble tout à fait correct.
J'aurais précisé que 47 étant premier, tout entier naturel non nul inférieur à 47 était premier avec 47, d'une part,
et, d'autre part, un peu plus loin, j'aurais simplement dit que q0+47h n'avait qu'un représentant dans [0;46] pour h entier, en indiquant que ce représentant ne pouvait en effet être nul.
Ce n'est au final pas si long que ça, et c'est bien du style des raisonnements qu'on trouve en spé.
C'est du bon travail.
à bientôt sur sos-math.
J'aurais précisé que 47 étant premier, tout entier naturel non nul inférieur à 47 était premier avec 47, d'une part,
et, d'autre part, un peu plus loin, j'aurais simplement dit que q0+47h n'avait qu'un représentant dans [0;46] pour h entier, en indiquant que ce représentant ne pouvait en effet être nul.
Ce n'est au final pas si long que ça, et c'est bien du style des raisonnements qu'on trouve en spé.
C'est du bon travail.
à bientôt sur sos-math.