Théorème de Gauss et PPCM/PGCD

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Lucie

Théorème de Gauss et PPCM/PGCD

Message par Lucie » lun. 24 mai 2021 00:05

Bonjour,
J'ai un exercice à faire :
Capture.PNG
Je n'ai pas réussi à la question 1)a) vous pourriez me donner des pistes ?
Sinon j'ai fait la b (PPCM=72) et la 2 (ça fonctionne et ça fait 864) mais la 3 j'ai vraiment du mal donc je veux bien un coup de main aussi svp.
Merci d'avance pour votre aide !
sos-math(21)
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Re: Théorème de Gauss et PPCM/PGCD

Message par sos-math(21) » lun. 24 mai 2021 07:12

Bonjour,
pour la question 1), il s'agit de trouver explicitement un multiple commun à \(a\) et \(b\) pour prouver que l'ensemble des multiples communs est non vide et donc qu'il admet un plus petit élément.
Si tu te te souviens de tes cours de collège, lorsque tu devais additionner deux fractions \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\), tu recherchais un dénominateur commun aux deux fractions, et ce n'était rien d'autre qu'un multiple commun aux deux entiers au dénominateur.
Ton professeur de mathématiques t'a peut-être dit qu'il existait un dénominateur commun qui marchait toujours : le produit de \(a\) par \(b\), \(ab\).
\(ab\) est bien un multiple commun aux deux entiers donc l’ensemble des multiples communs positifs à \(a\) et \(b\) est non vide.

Pour la question 3, si on pose \(d=PGCD(a;b)\), alors il existe \((a′;b′)\in\mathbb{N}^2\) tel que \(a=da′\) et \(b=db′\).
Si on considère le nombre \(M=a'b'd\) alors :
  • \(M=b'\times\underbrace{(a'd)}_{a}=b'a\) donc \(a\mid M\) ;
  • \(M=a'\times\underbrace{(b'd)}_{b}=a'b\) donc \(b\mid M\)
Donc \(M\) est divisible par \(a\) et \(b\) donc \(M\) est un multiple commun à \(a\) et \(b\).
De plus comme les entiers intervenant ici sont tous positifs, \(M\) est aussi positif. Ainsi \(M=a′b′d\) est un multiple commun positif à \(a\) et \(b\).
Est-ce plus clair ?
Lucie

Re: Théorème de Gauss et PPCM/PGCD

Message par Lucie » lun. 24 mai 2021 13:24

sos-math(21) a écrit :
lun. 24 mai 2021 07:12
Bonjour,
pour la question 1), il s'agit de trouver explicitement un multiple commun à \(a\) et \(b\) pour prouver que l'ensemble des multiples communs est non vide et donc qu'il admet un plus petit élément.
Si tu te te souviens de tes cours de collège, lorsque tu devais additionner deux fractions \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\), tu recherchais un dénominateur commun aux deux fractions, et ce n'était rien d'autre qu'un multiple commun aux deux entiers au dénominateur.
Ton professeur de mathématiques t'a peut-être dit qu'il existait un dénominateur commun qui marchait toujours : le produit de \(a\) par \(b\), \(ab\).
\(ab\) est bien un multiple commun aux deux entiers donc l’ensemble des multiples communs positifs à \(a\) et \(b\) est non vide.

Pour la question 3, si on pose \(d=PGCD(a;b)\), alors il existe \((a′;b′)\in\mathbb{N}^2\) tel que \(a=da′\) et \(b=db′\).
Si on considère le nombre \(M=a'b'd\) alors :
  • \(M=b'\times\underbrace{(a'd)}_{a}=b'a\) donc \(a\mid M\) ;
  • \(M=a'\times\underbrace{(b'd)}_{b}=a'b\) donc \(b\mid M\)
Donc \(M\) est divisible par \(a\) et \(b\) donc \(M\) est un multiple commun à \(a\) et \(b\).
De plus comme les entiers intervenant ici sont tous positifs, \(M\) est aussi positif. Ainsi \(M=a′b′d\) est un multiple commun positif à \(a\) et \(b\).
Est-ce plus clair ?
Merci beaucoup, pour la 1)a) je savais que ab fonctionnait mais je ne pensais pas que cela suffirait comme démonstration, j'ai aussi compris la 3.
Me voilà maintenant à la 4, je ne sais pas trop quoi répondre, a' et b' sont des diviseurs de a et b ? je pense que ça doit servir pour la b mais je ne vois pas trop en quoi précisément, je continue à chercher en attendant
sos-math(21)
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Re: Théorème de Gauss et PPCM/PGCD

Message par sos-math(21) » lun. 24 mai 2021 14:02

Bonjour,
si tu prends \(d=pgcd(a;b)\) alors les entiers \(a'\) et \(b'\) définis par :
\(\left\lbrace\begin{array}{l}a=da'\\b=db'\end{array}\right.\)
sont premiers entre eux, car on a les obtient en divisant par le plus grand diviseur commun à \(a\) et \(b\).
Pour le justifier, on peut utiliser une propriété du pgcd : pour tous entiers naturels non nuls \(k,a,b\), \(pgcd(ka;kb)=k\times pgcd(a;b)\).
Donc si on applique cette propriété à \(d=pgcd(a;b)=pgcd(da';db')=d\times pgcd(a';b')\).
On se retrouve avec \(d=d\times pgcd(a';b')\) donc en divisant par \(d\neq 0\), on a \(pgcd(a';b')=1\).
Cela devrait effectivement servir pour la b.
Bonne continuation
Lucie

Re: Théorème de Gauss et PPCM/PGCD

Message par Lucie » lun. 24 mai 2021 14:59

sos-math(21) a écrit :
lun. 24 mai 2021 07:12
Bonjour,
pour la question 1), il s'agit de trouver explicitement un multiple commun à \(a\) et \(b\) pour prouver que l'ensemble des multiples communs est non vide et donc qu'il admet un plus petit élément.
Si tu te te souviens de tes cours de collège, lorsque tu devais additionner deux fractions \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\), tu recherchais un dénominateur commun aux deux fractions, et ce n'était rien d'autre qu'un multiple commun aux deux entiers au dénominateur.
Ton professeur de mathématiques t'a peut-être dit qu'il existait un dénominateur commun qui marchait toujours : le produit de \(a\) par \(b\), \(ab\).
\(ab\) est bien un multiple commun aux deux entiers donc l’ensemble des multiples communs positifs à \(a\) et \(b\) est non vide.

Pour la question 3, si on pose \(d=PGCD(a;b)\), alors il existe \((a′;b′)\in\mathbb{N}^2\) tel que \(a=da′\) et \(b=db′\).
Si on considère le nombre \(M=a'b'd\) alors :
  • \(M=b'\times\underbrace{(a'd)}_{a}=b'a\) donc \(a\mid M\) ;
  • \(M=a'\times\underbrace{(b'd)}_{b}=a'b\) donc \(b\mid M\)
Donc \(M\) est divisible par \(a\) et \(b\) donc \(M\) est un multiple commun à \(a\) et \(b\).
De plus comme les entiers intervenant ici sont tous positifs, \(M\) est aussi positif. Ainsi \(M=a′b′d\) est un multiple commun positif à \(a\) et \(b\).
Est-ce plus clair ?
Merci pour votre aide mais ça fait maintenant 2 heure que je suis sur la 4ème question et que je n'y arrive pas, je ne sais pas par ou commencer est ce que vous pourriez me donner juste une piste pour le début s'il vous plaît ?
sos-math(21)
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Re: Théorème de Gauss et PPCM/PGCD

Message par sos-math(21) » lun. 24 mai 2021 15:10

Bonjour,
pour la 4a, j'ai répondu dans un message précédent.
Pour la 4 b :
Soit \(m\in\mathbb{N}\). Montrer que si \(m\) est un multiple commun positif à \(a\) et \(b\), alors \(m\) est un multiple de \(a′b′d\).
Pour cette question, on part donc d'un entier \(m\), multiple commun positif à \(a\) et \(b\) : cela signifie qu'il existe \(n\) et \(p\) entiers tels que \(m=na\) et \(m=pb\).

L'égalité \(na=pb\) peut s'écrire \(na′d=pb′d\), et donc, en divisant par \(d\neq 0\), on a \( na′=pb′\) donc on déduit de cette égalité que \(a'\mid pb'\).

Or, d’après la question précédente, \(a′\) et \(b′\) sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, \(a′ \mid p\).

Donc il existe un entier \(c\) tel que \(p=ca′\) et on a finalement :

\(m=pb=pb′d=c(a′b′d)\), et donc \(m\) est bien un multiple de \(a′b′d\).

Bonne continuation
Lucie

Re: Théorème de Gauss et PPCM/PGCD

Message par Lucie » lun. 24 mai 2021 16:11

sos-math(21) a écrit :
lun. 24 mai 2021 15:10
Bonjour,
pour la 4a, j'ai répondu dans un message précédent.
Pour la 4 b :
Soit \(m\in\mathbb{N}\). Montrer que si \(m\) est un multiple commun positif à \(a\) et \(b\), alors \(m\) est un multiple de \(a′b′d\).
Pour cette question, on part donc d'un entier \(m\), multiple commun positif à \(a\) et \(b\) : cela signifie qu'il existe \(n\) et \(p\) entiers tels que \(m=na\) et \(m=pb\).

L'égalité \(na=pb\) peut s'écrire \(na′d=pb′d\), et donc, en divisant par \(d\neq 0\), on a \( na′=pb′\) donc on déduit de cette égalité que \(a'\mid pb'\).

Or, d’après la question précédente, \(a′\) et \(b′\) sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, \(a′ \mid p\).

Donc il existe un entier \(c\) tel que \(p=ca′\) et on a finalement :

\(m=pb=pb′d=c(a′b′d)\), et donc \(m\) est bien un multiple de \(a′b′d\).

Bonne continuation
Merci pour votre aide, j'ai pu terminer l'exercice et démontrer que axb=PGCD(a,b)xPPCM(a,b)
sos-math(21)
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Re: Théorème de Gauss et PPCM/PGCD

Message par sos-math(21) » lun. 24 mai 2021 16:14

Tant mieux si tu as pu terminer ton exercice qui n'était pas vraiment simple.
Je verrouille donc le sujet.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math
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