Equation admettant une solution ou non

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Michel

Equation admettant une solution ou non

Message par Michel » sam. 22 mai 2021 14:43

Bonjour,
J'ai un exercice à faire pour mardi :
ex math experte.PNG
Notre cours porte sur les PGCD mais je ne trouve pas de méthodo sur internet pour résoudre ce genre d'équation en utilisant des PGCD quelqu'un saurait comme faire svp ?
sos-math(21)
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Re: Equation admettant une solution ou non

Message par sos-math(21) » sam. 22 mai 2021 15:22

Bonjour,
c'est effectivement lié au PGCD.
En effet, si on considère le PGCD \(d\) de deux entiers \(a\) et \(b\), alors il divise \(a\) et \(b\) (normal) donc il va diviser n'importe quelle combinaison de \(a\) et \(b\), c'est-à-dire que pour tous entiers \(u\) et \(v\) \(d\) divise \(ua+vb\).
Cette première remarque te permet de montrer qu'une équation de la forme \(ua+vb=m\) n'a pas de solution : en effet, avec ce que l'on vient de dire le PGCD de \(a\) et \(b\) devra diviser \(m\), donc s'il ne le divise pas, on est sûr qu'il n'y aura pas de solution.
Par exemple pour la 3), \(PGCD(222,72)=6\) or \(6\) ne divise pas \(8\) donc l'équation 3) n'aura pas de solution.
Pour les autres équations dont tu penses qu'il y a une solution, le plus simple est de trouver un couple solution en cherchant dans les multiples des entiers considérés. Il y a une démarche globale pour trouver systématiquement une solution à une équation de ce type mais je ne suis pas sûr que ce soit au programme.
Je te laisse réfléchir à tout cela avant d'aller plus loin.
Michel

Re: Equation admettant une solution ou non

Message par Michel » sam. 22 mai 2021 18:02

sos-math(21) a écrit :
sam. 22 mai 2021 15:22
Bonjour,
c'est effectivement lié au PGCD.
En effet, si on considère le PGCD \(d\) de deux entiers \(a\) et \(b\), alors il divise \(a\) et \(b\) (normal) donc il va diviser n'importe quelle combinaison de \(a\) et \(b\), c'est-à-dire que pour tous entiers \(u\) et \(v\) \(d\) divise \(ua+vb\).
Cette première remarque te permet de montrer qu'une équation de la forme \(ua+vb=m\) n'a pas de solution : en effet, avec ce que l'on vient de dire le PGCD de \(a\) et \(b\) devra diviser \(m\), donc s'il ne le divise pas, on est sûr qu'il n'y aura pas de solution.
Par exemple pour la 3), \(PGCD(222,72)=6\) or \(6\) ne divise pas \(8\) donc l'équation 3) n'aura pas de solution.
Pour les autres équations dont tu penses qu'il y a une solution, le plus simple est de trouver un couple solution en cherchant dans les multiples des entiers considérés. Il y a une démarche globale pour trouver systématiquement une solution à une équation de ce type mais je ne suis pas sûr que ce soit au programme.
Je te laisse réfléchir à tout cela avant d'aller plus loin.
Merci, j'ai réussi pour toutes les questions (la 3 est la seul pour laquelle il n'y a pas de solution), l'exercice ne demande pas de trouver de couple solution mais je l'ai fait quand même avec une technique qu'on avait appris en cours.
sos-math(21)
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Re: Equation admettant une solution ou non

Message par sos-math(21) » sam. 22 mai 2021 19:26

Bonjour,
très bien si tu as pu terminer ton exercice.
Je verrouille le sujet.
Bonne continuation
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