Fraction irréductible avec n

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mathias

Fraction irréductible avec n

Message par mathias » lun. 17 mai 2021 20:41

Bonjour,
J'ai une question sur laquelle je bloque en maths expertes (arithmétique), je vois vaguement ce qu'il faut faire, mais je ne sais pas comment procéder : je cherche à déterminer n tel que l'écriture de q = n -4 /(5n-3) soit irréductible.
Je suppose donc qu'il faut que n-4 et 5n-3 soient premiers entre eux mais je ne sais pas comment faire pour démontrer cela...
Pouvez vous m'aider ?
Merci beaucoup ! :)
sos-math(21)
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Re: Fraction irréductible avec n

Message par sos-math(21) » lun. 17 mai 2021 21:28

Bonjour,
je te donne une piste : si tu considères un entier \(d\) diviseur commun à \(n-4\) et \(5n-3\), alors \(d\mid n-4\) et \(d\mid 5n-3\).
Comme \(d\mid n-4\), il divise n'importe quel multiple de \(n-4\), en particulier il divise \(5(n-4)=5n-20\).
Finalement \(d\mid 5n-20\) et \(d\mid 5n-3\) donc \(d\) divise leur différence, ainsi \(d\mid 5n-3-(5n-20)\) et \(d\) divise \(17\).
Donc si un entier est un diviseur commun aux deux nombres de départ alors c'est un diviseur de 17. Conclusion sur le PGCD de \(n-4\) et \(5n-3\) ?
Bonne continuation
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