SOS-MATH

Bonjour,
SVP comment répondre à cette question :
Soit f une fonction dérivable sur [0 ; 1] tel que f(0)=0 et f(1)=1
Montrer qu'il existe un réel c ∈ [0 ; 1[
tel que f(c)=(1+c)/(1−c)

Bonjour
es-tu sûr(e) de ton énoncé ?
Si on prend par exemple la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x\), \(f\) est bien dérivable et on a \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\).
et la droite représentant \(f\) ne rencontre pas la courbe représentative de la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\dfrac{1+x}{1-x}\) sur \([0\,;\,1[\) donc il n'existe pas de réel \(c\) sur cet intervalle tel que \(f(c)=\dfrac{1+c}{1-c}\). Merci de préciser afin que nous puissions t'aider.

Bonjour
Peut etre que c'est une faute d'impression, je crois qu'en inversant le dénominateur avec le numérateur ça fera l'affaire donc je crois que f(c)=(1−c)/(1+c)

Bonjour,
Dans ce cas, je te suggère d’étudier la fonction \(g\) définie sur \([0;1]\) par \(g(x)=f(x)-\dfrac{1-x}{1+x}\)
Tu pourras ensuite appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à cette fonction continue.
Bonne continuation

sos-math(21) a écrit : ↑

lun. 3 mai 2021 05:35

Bonjour,
Dans ce cas, je te suggère d’étudier la fonction \(g\) définie sur \([0;1]\) par \(g(x)=f(x)-\dfrac{1-x}{1+x}\)

Bonjour, d'accord ici l'étude concerne seulement la continuité de la fonction g c'est ça ?
Oui après on a g(0).g(1)<0 donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'existence de ce réel c est vérifié.
En fait je crois que la continuité de f suffirait pour répondre à la question donc pas besoin de savoir qu'elle est dérivable, je me trompe ?
Merci pour votre aide

Bonjour,
effectivement, la continuité est suffisante pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
L'hypothèse de dérivabilité est simplement plus forte et elle assure surtout la continuité de \(f\) et donc celle de \(g\).
Ton raisonnement est donc correct.
Bonne continuation

Merci merci pour votre aide

Bonjour,
je verrouille le sujet.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math