Question analyse

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lama

Question analyse

Message par lama » dim. 2 mai 2021 02:09

Bonjour,
SVP comment répondre à cette question :
Soit f une fonction dérivable sur [0 ; 1] tel que f(0)=0 et f(1)=1
Montrer qu'il existe un réel c ∈ [0 ; 1[
tel que f(c)=(1+c)/(1−c)
sos-math(21)
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Re: Question analyse

Message par sos-math(21) » dim. 2 mai 2021 08:44

Bonjour
es-tu sûr(e) de ton énoncé ?
Si on prend par exemple la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x\), \(f\) est bien dérivable et on a \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\).
et la droite représentant \(f\) ne rencontre pas la courbe représentative de la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\dfrac{1+x}{1-x}\) sur \([0\,;\,1[\) donc il n'existe pas de réel \(c\) sur cet intervalle tel que \(f(c)=\dfrac{1+c}{1-c}\).
rencontre.PNG
Merci de préciser afin que nous puissions t'aider.
lama

Re: Question analyse

Message par lama » dim. 2 mai 2021 12:34

Bonjour
Peut etre que c'est une faute d'impression, je crois qu'en inversant le dénominateur avec le numérateur ça fera l'affaire donc je crois que f(c)=(1−c)/(1+c)
sos-math(21)
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Re: Question analyse

Message par sos-math(21) » lun. 3 mai 2021 05:35

Bonjour,
Dans ce cas, je te suggère d’étudier la fonction \(g\) définie sur \([0;1]\) par \(g(x)=f(x)-\dfrac{1-x}{1+x}\)
Tu pourras ensuite appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à cette fonction continue.
Bonne continuation
lama

Re: Question analyse

Message par lama » lun. 17 mai 2021 10:54

sos-math(21) a écrit :
lun. 3 mai 2021 05:35
Bonjour,
Dans ce cas, je te suggère d’étudier la fonction \(g\) définie sur \([0;1]\) par \(g(x)=f(x)-\dfrac{1-x}{1+x}\)
Bonjour, d'accord ici l'étude concerne seulement la continuité de la fonction g c'est ça ?
Oui après on a g(0).g(1)<0 donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'existence de ce réel c est vérifié.
En fait je crois que la continuité de f suffirait pour répondre à la question donc pas besoin de savoir qu'elle est dérivable, je me trompe ?
Merci pour votre aide
sos-math(21)
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Re: Question analyse

Message par sos-math(21) » lun. 17 mai 2021 12:00

Bonjour,
effectivement, la continuité est suffisante pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
L'hypothèse de dérivabilité est simplement plus forte et elle assure surtout la continuité de \(f\) et donc celle de \(g\).
Ton raisonnement est donc correct.
Bonne continuation
lama

Re: Question analyse

Message par lama » lun. 17 mai 2021 12:12

Merci merci pour votre aide
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Re: Question analyse

Message par sos-math(21) » lun. 17 mai 2021 12:18

Bonjour,
je verrouille le sujet.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math
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