limites de suites
limites de suites
Bonjour,
supposons que les suites Un et U 'n ont la même limite (finie ou infinie) et que les suites Vn et V 'n ont la même limite (finie ou infinie) .
A quelles conditions peut-on dire que la limite du quotient Un/Vn est égale à la limite du quotient U 'n / V 'n ??
Merci beaucoup !
C.
supposons que les suites Un et U 'n ont la même limite (finie ou infinie) et que les suites Vn et V 'n ont la même limite (finie ou infinie) .
A quelles conditions peut-on dire que la limite du quotient Un/Vn est égale à la limite du quotient U 'n / V 'n ??
Merci beaucoup !
C.
-
- Messages : 10353
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: limites de suites
Bonjour,
si tu connais la notion de suites équivalentes, alors on a la propriété suivante :
soient \((u_n)\), \((v_n)\), \((w_n)\) et \((t_n)\) quatre suites numériques réelles ne s'annulant pas à partir d'un certain rang :
si \(u_n\underset{n\to+\infty}{\sim} w_n\) et \(v_n\underset{n\to+\infty}{\sim} t_n\) alors \(\dfrac{u_n}{v_n} \underset{n\to+\infty}{\sim} \dfrac{w_n}{t_n}\)
Tu peux consulter ce document pour voir une démonstration (p4 pour la définition d'équivalent, p8 pour la propriété citée et p9 pour la démonstration) : https://www.maths-france.fr/MathSup/Cou ... suites.pdf
Si les suites ne sont pas équivalentes (elles peuvent avoir la même limite sans être pour autant équivalentes), il n'y a pas de propriété générale :
si on prend \(u_n=n\), \(v_n=n^2\), \(w_n=n^2\) et \(t_n=n\), ces quatre suites tendent vers \(+\infty\) donc, elles ont bien, deux par deux, la même limite.
Or le quotient \(\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{n}{n^2}=\dfrac{1}{n}\) tend vers 0 tandis que le quotient \(\dfrac{w_n}{t_n}=\dfrac{n^2}{n}=0\) tend vers \(+\infty\).
La condition d'équivalence est une condition suffisante pour que cela fonctionne.
Bonne continuation
si tu connais la notion de suites équivalentes, alors on a la propriété suivante :
soient \((u_n)\), \((v_n)\), \((w_n)\) et \((t_n)\) quatre suites numériques réelles ne s'annulant pas à partir d'un certain rang :
si \(u_n\underset{n\to+\infty}{\sim} w_n\) et \(v_n\underset{n\to+\infty}{\sim} t_n\) alors \(\dfrac{u_n}{v_n} \underset{n\to+\infty}{\sim} \dfrac{w_n}{t_n}\)
Tu peux consulter ce document pour voir une démonstration (p4 pour la définition d'équivalent, p8 pour la propriété citée et p9 pour la démonstration) : https://www.maths-france.fr/MathSup/Cou ... suites.pdf
Si les suites ne sont pas équivalentes (elles peuvent avoir la même limite sans être pour autant équivalentes), il n'y a pas de propriété générale :
si on prend \(u_n=n\), \(v_n=n^2\), \(w_n=n^2\) et \(t_n=n\), ces quatre suites tendent vers \(+\infty\) donc, elles ont bien, deux par deux, la même limite.
Or le quotient \(\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{n}{n^2}=\dfrac{1}{n}\) tend vers 0 tandis que le quotient \(\dfrac{w_n}{t_n}=\dfrac{n^2}{n}=0\) tend vers \(+\infty\).
La condition d'équivalence est une condition suffisante pour que cela fonctionne.
Bonne continuation
Re: limites de suites
Merci !
Dernière demande de confirmation : peut-on affirmer que si Un et Vn sont équivalentes et si leurs limites existent alors forcément Un et Vn ont la même limite ?
Merci !
C.
Dernière demande de confirmation : peut-on affirmer que si Un et Vn sont équivalentes et si leurs limites existent alors forcément Un et Vn ont la même limite ?
Merci !
C.
-
- Messages : 10353
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: limites de suites
Bonjour,
si deux suites sont équivalentes et que leurs limites existent alors elles ont effectivement la même limite.
Bonne continuation
si deux suites sont équivalentes et que leurs limites existent alors elles ont effectivement la même limite.
Bonne continuation