limites de suites

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Cédric

limites de suites

Message par Cédric » mar. 27 avr. 2021 11:41

Bonjour,
supposons que les suites Un et U 'n ont la même limite (finie ou infinie) et que les suites Vn et V 'n ont la même limite (finie ou infinie) .
A quelles conditions peut-on dire que la limite du quotient Un/Vn est égale à la limite du quotient U 'n / V 'n ??
Merci beaucoup !
C.
sos-math(21)
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Re: limites de suites

Message par sos-math(21) » mar. 27 avr. 2021 13:19

Bonjour,
si tu connais la notion de suites équivalentes, alors on a la propriété suivante :
soient \((u_n)\), \((v_n)\), \((w_n)\) et \((t_n)\) quatre suites numériques réelles ne s'annulant pas à partir d'un certain rang :
si \(u_n\underset{n\to+\infty}{\sim} w_n\) et \(v_n\underset{n\to+\infty}{\sim} t_n\) alors \(\dfrac{u_n}{v_n} \underset{n\to+\infty}{\sim} \dfrac{w_n}{t_n}\)
Tu peux consulter ce document pour voir une démonstration (p4 pour la définition d'équivalent, p8 pour la propriété citée et p9 pour la démonstration) : https://www.maths-france.fr/MathSup/Cou ... suites.pdf
Si les suites ne sont pas équivalentes (elles peuvent avoir la même limite sans être pour autant équivalentes), il n'y a pas de propriété générale :
si on prend \(u_n=n\), \(v_n=n^2\), \(w_n=n^2\) et \(t_n=n\), ces quatre suites tendent vers \(+\infty\) donc, elles ont bien, deux par deux, la même limite.
Or le quotient \(\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{n}{n^2}=\dfrac{1}{n}\) tend vers 0 tandis que le quotient \(\dfrac{w_n}{t_n}=\dfrac{n^2}{n}=0\) tend vers \(+\infty\).
La condition d'équivalence est une condition suffisante pour que cela fonctionne.
Bonne continuation
Cédric

Re: limites de suites

Message par Cédric » mar. 27 avr. 2021 15:50

Merci !
Dernière demande de confirmation : peut-on affirmer que si Un et Vn sont équivalentes et si leurs limites existent alors forcément Un et Vn ont la même limite ?
Merci !
C.
sos-math(21)
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Re: limites de suites

Message par sos-math(21) » mar. 27 avr. 2021 16:05

Bonjour,
si deux suites sont équivalentes et que leurs limites existent alors elles ont effectivement la même limite.
Bonne continuation
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