Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

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Colombe

Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par Colombe » mer. 14 avr. 2021 19:14

Bonjour ,
Je suis une élève en Terminale générale S
Et je me tourne vers vous car j'ai un exercice en mathématiques que je n'arrive pas à faire : il s'agit d'un système dont l'énoncé est le suivant :
Résoudre le système : {x+y+z=1
{x^2+y^2+z^2=1
Dont x,y,z sont des réels positifs .

J'ai essayé 2 techniques :
● (1-y-z)^2 +y^2+z^2 =1
1+y^2 + z^2 -2y -2z + 2y +y^2+z^2=1
2y^2 + 2z^2 - 2 y -2z +2yz =0
2(y^2+ z^2 - y -z +yz) =0 et là je suis bloquée..
● la 2eme méthode est que j'ai fait une équation :
(1-y-z)^2 = 1-y^2-z^2 (qui rejoint un peu la 1ere méthode)
Je trouve : y^2+z^2-y-z+ yz =0 puis je suis encore bloquée.
Pourriez vous s'il vous plaît m'aider pour cet exo et me dire par quels méthodes je pourrais résoudre cela ?
Cordialement.
SoS-Math(9)
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par SoS-Math(9) » mer. 14 avr. 2021 19:49

Bonsoir Colombe,

La première méthode est juste (même si il manque un z dans "1+y^2 + z^2 -2y -2z + 2y +y^2+z^2=1", il faut 2yz).
Je ne comprends pas ta 2ème méthode.

Ton équation 2(y^2+ z^2 - y -z +yz) =0 donne y^2+ z^2 - y -z + yz = 0 qui est l'équation d'une ellipse (voir figure ci-dessous).
Ellipse.JPG
As-tu vu ce type d'équation en cours ? Ce n'est pas au programme de terminale.

SoSMath.
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par Invité » mer. 14 avr. 2021 19:59

Alors je n'ai jamais vu ce type d'équation, mais c'est à mon avis un exercice hors programme qui est pourtant dans mon DM de math .
Je pense que mon prof a fait exprès de nous le mettre pour qu'on recherche .
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par SoS-Math(9) » mer. 14 avr. 2021 20:01

Je suis d'accord avec toi !

Bonne continuation pour ton DM.

SoSMath.
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par Invité » mer. 14 avr. 2021 20:14

Est ce que vous pourriez me renseigner sur la résolution d'une équation d'ellipse svp?
Si cela ne vous dérange pas bien sur ^^
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par SoS-Math(9) » mer. 14 avr. 2021 20:25

Colombe,

Il n'y a rien à résoudre !
Tu as trouvé une équation de cette ellipse. On peut modifier cette équation en changeant les axes du repère et son centre... mais c'est très compliqué.

SoSMath
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par Invité » mer. 14 avr. 2021 20:28

D'accord je comprends
Mais cependant je ne sais toujours pas comment répondre à la question de l'exo qui est "résoudre le système " ? 😅
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par SoS-Math(9) » mer. 14 avr. 2021 21:09

Tu ne peux pas trouver une solution du type x=2, y=1, z=3.
Demain, j'essaierai de te donner d'autres solutions, mais cela sera forcément compliqué.

SoSMath.
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par Invité » mer. 14 avr. 2021 21:12

Merci de votre aide
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par SoS-Math(9) » jeu. 15 avr. 2021 08:43

Bonjour Colombe,

voici ce que tu peux faire, mais ce n'est pas simple ...
y² + z² + yz - y - z = 0
y² + y(z - 1) = z - z²
(y + 0,5(z - 1))² - 0,25(z - 1)² = z - z² j'utilise la méthode suivante : x² + ax = (x + 0,5a)² - (0,5a)² = (x + 0,5a)² - 0,25a²
(y + 0,5(z - 1))² = -0,75z² + 0,5z + 0,25 j'ai développé et réduit le 2nd membre.
Il faut -0,75z² + 0,5z + 0,25 positif, avec le discriminant, on trouve z appartenant à [-1/3 ; 1].
Alors pour z appartenant à [-1/3 ; 1], on a \(y + 0,5(z - 1) = \sqrt{-0,75z^2 + 0,5z + 0,25}\) ou \(y + 0,5(z - 1) = - \sqrt{-0,75z^2 + 0,5z + 0,25}\)
soit \(y = - 0,5(z - 1) + \sqrt{-0,75z^2 + 0,5z + 0,25}\) ou \(y = - 0,5(z - 1) - \sqrt{-0,75z^2 + 0,5z + 0,25}\).

Ensuite on a x = 1 - z - y d'où :
\(x = 1 - z + 0,5(z - 1) - \sqrt{-0,75z^2 + 0,5z + 0,25}\) ou \(x = 1 - z + 0,5(z - 1) + \sqrt{-0,75z^2 + 0,5z + 0,25}\).
soit \(x = 0,5(1 - z) - \sqrt{-0,75z^2 + 0,5z + 0,25}\) ou \(x = 0,5(1 - z) + \sqrt{-0,75z^2 + 0,5z + 0,25}\).

Comme tu peux le voir, ce n'est pas simple !
Remarque : tu as seulement deux équations pour 3 inconnues, donc il est normal d'exprimer, dans la solution, deux inconnues en fonction de la 3ème.

SoSMath.
Invité

Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par Invité » jeu. 15 avr. 2021 09:08

Effectivement ça a l'air très complexe ;
je vous remercie de m'avoir aidé
Bonne journée à vous 😀
Invité

Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par Invité » jeu. 15 avr. 2021 09:46

Je pense que j'ai peut être une autre solution plus simple mais je ne suis pas du tout sûre :

●Si l'une des inconnues est strictement plus grand que 1, alors la somme ne peut pas être égale à 1 .

●Si l'une des inconnues est non nulle et strictement inférieure à 1, alors son carré lui sera strictement inférieur donc la somme des carrés ne pourra pas être égale à la somme des inconnues .

●La seule possibilité serait
si l'une des inconnues est nulle par exemple z =0
Alors nous obtiendrons x+y=x^2+y^2 =1
x=1-y (on substitue)
(1-y)^2 + y^2 =1
1-2y+y^2+y^2 =1
Donc y est égal soit 0 ou 1

On en conclue que pour (x,y,z) on aura soit (0,1,0) ou (0,0,1) ou (1,0,0) . Donc il faut qu'une inconnue soit égale à 1 et les 2 autres nulles .

Est ce que vous pensez que ça pourrait être ça ?
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par SoS-Math(9) » jeu. 15 avr. 2021 10:09

Colombe,

ton raisonnement est faux (sauf si tu as des conditions particulières pour tes inconnues x, y et z).
Par exemple tu dis : "Si l'une des inconnues est strictement plus grand que 1, alors la somme ne peut pas être égale à 1 ."
Tu peux avoir x = 2 > 1, y=-1 et z=0, alors x+y+z=1.
Ton raisonnement ne marche que si les inconnues sont positives ...

As-tu oublié de donner des conditions sur tes inconnues x, y et z ?

SoSMath.
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par Invité » jeu. 15 avr. 2021 10:59

x,y et z sont des réels positifs(je l'avais spécifié dans l'énoncé )
Donc aucune inconnue n'est négative .
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Re: Système d'équation à 3 inconnues / Terminale

Message par SoS-Math(9) » jeu. 15 avr. 2021 12:58

Colombe,

je me suis focalisé sur ton calcul et je n'ai pas vu les conditions x, y et z positifs.
C'est plus simple avec ces conditions.
Et donc ta proposition est juste. C'est bien.

SoSMath.
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