Somme de variables aléatoires

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Shadow6870

Somme de variables aléatoires

Message par Shadow6870 » ven. 26 mars 2021 17:47

Bonjour, j'ai un exercice de maths mais je n'y arrive pas tout.

Voici l'énoncé :

On dispose d'un jeu de 52 cartes comme ci-dessus et on prélève une carte au hasard dans le paquet. On s'intéressebà deux aspects de la carte.
- Sa couleur :
• Si la carte est un coeur, on gagne 10 points
• Si la carte est un trèfle, on gagne 2 points
• Dans les autres cas, on perd 15 points
- Sa valeur :
• Si la carte est une figure ( valet, damd, roi ), on gagne 5 points
• Si la carte est un as, on gagne 2 points
• Si la carte est un 2 ou un 10, on gagne 1 point
• Si la carte est un 5, on ne gagne pas de point
• Dans les autres cas, on perd 1 point.
Soit Z la variable aléatoire correspondant au nombre de points remportés au total.
On note X et Y les variables aléatoires correspondant au nombre de points obtenus en regardant respectivement la couleur et la valeur.
1) a- Exprimer Z en fonction de X et Y.
b- Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires X et Y.
c- En déduire E(Z) puis σ(Z).
2 - On joue 5 fois de suite à ce jeu, en remettant systématiquement la carte obtenue dans le paquet et en mélangeant de nouveaubles cartes.
Pour tout entier k ∈ { 1; ... ; 5 }, on note Zk la variable aléatoire correspondant au nombre de points obtenus au k^e tirage.
Soit S la variable aléatoire corrspondant au nombre total de points obtenus à l'issue de la partie.
a - Exprimer S en fonction des variables Zk.
b- Calculer E(S) puis interpréter le résultat obtenu. Calculer σ(S).
c- On pose enfin la variable aléatoire M= ( Z1+ ... + Z5 ) ÷ 5. À quoi la variable aléatoire M correspond-elle ? Calculer σ(M).

Voilà l'énoncé. Il est assez long, désolé.
J'arrive donc à faire les questions 1) a- et 1)b- mais c'est à partir de la 1) c- que je bloque notament parce que je trouve que E(Z) est négatif.

Pouvez-vous m'aidez s'il vous plait.
SoS-Math(34)
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Re: Somme de variables aléatoires

Message par SoS-Math(34) » ven. 26 mars 2021 19:50

Bonsoir

L'espérance est linéaire donc E(Z) = E(X + Y)= E(X) + E(Y) donc l'espérance de Z est positive, comme somme de deux réels positifs.
Une piste par ailleurs pour l'écart-type :
https://www.youtube.com/watch?v=ejgw16Lu_iI
Tu dois cependant savoir comment calculer l'écart-type à partir de la variance...et vérifier au préalable une propriété de X et Y que la vidéo évoque.

Bonne recherche
sosmaths
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