Euclide
Posté : jeu. 25 mars 2021 16:39
Bonjour !
Je bloque sur un sujet de maths assez compliqué... J'ai besoin d'aide svp.
L'énoncé:
Dans le film "Die hard 3", Bruce Willis et Samuel Jackson font face à une énigme qu'ils réussissent avec succès: mettre 4 gallons d'eau dans un bidon grâce à une fontaine et 2 bidons contenant respectivement 5 gallons et 3 gallons.
Dans notre cas, Bruce à la mission de mesurer une durée de 3 minutes à l'aide d'un sablier mesurant une durée de 15 minutes et d'un autre mesurant une durée de 9 minutes. Son compatriote Samuel affirme: "on y arrivera facilement, car \(2*9-15=3^n\)
1) Expliquer concrètement comment Bruce peut mesurer 3 minutes à l'aide de ses deux sabliers et de l'indication de Samuel.
2) Résoudre dans \(Z^2\) l'équation diophantienne : \((E): 9x+15y=3\) qui traduit la situation à laquelle sont confrontés Bruce et Samuel. On utilisera, à titre de solution particulière, l'idée de résolution fournie par Samuel.
3) Bruce et Samuel peuvent-ils mesurer ainsi n'importe quelle durée d en minutes ?
Si non, quelles sont les durées qu'ils peuvent mesurer, et celles qui leur sont inaccessibles ?
4) La méthode de résolution proposée par Samuel a du sens parce qu'elle isole 3 minutes comme soustraction entre un multiple de 9 et un multiple de 15, ce qui sous-entend que les solutions de \((E)\) doivent être de signes contraires.
a. Décrire les solutions de \((E)\) pour lesquelles on a \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y\leq 0 & \end{matrix}\right.\)
La première doit être la solution particulière déjà utilisée. Donner celle d'après et expliquer concrètement la manipulation correspondante pour "isoler" les 3 minutes à l'aide des deux sabliers.
b. Décrire les solutions de \((E)\) pour lesquelles on a \(\left\{\begin{matrix} x\leq 0 & \\ y\geq 0 & \end{matrix}\right.\)
Prendre un exemple concret d'une telle solution et décrire la manipulation correspondante. Qu'est-ce qui a changé par rapport à la question 4)a. ?
5) On appelle "manipulation" le fait de retourner un des sabliers.
Par exemple, la méthode proposée initialement par Samuel comporte 3 manipulations.
a. Pour une solution quelconque \((x;y)\) de \((E)\), quel est le nombre de manipulations ?
On distinguera les deux cas étudiés dans la question 4)
b. Déterminer toutes les méthodes que Bruce et Samuel peuvent envisager en moins de 30 manipulations.
c. Quels sont tous les nombres de manipulations pour lesquels il est possible de trouver une méthode de résolution ?
6) Si l'objectif avait été de délimiter une durée de 3 heures et 51 minutes, vérifier que la solution \((x;y)=(14;7)\) conviendrait. Interpréter celle-ci concrètement: que suffit-il de faire alors avec les 2 sabliers ?
On considère alors une durée quelconque \(d\) conforme à la condition trouvée dans la question 3).
Résoudre l'équation générale : \((E_{d}): 9x+15y=d\) puis montrer que si cette durée \(d\) est supérieure à trois quarts d'heure, on est certain qu'il existera des solutions positives.
J'ai réussi la 2 je pense, mais je ne vois pas quoi répondre à la 1) ...
Merci d'avance !
Je bloque sur un sujet de maths assez compliqué... J'ai besoin d'aide svp.
L'énoncé:
Dans le film "Die hard 3", Bruce Willis et Samuel Jackson font face à une énigme qu'ils réussissent avec succès: mettre 4 gallons d'eau dans un bidon grâce à une fontaine et 2 bidons contenant respectivement 5 gallons et 3 gallons.
Dans notre cas, Bruce à la mission de mesurer une durée de 3 minutes à l'aide d'un sablier mesurant une durée de 15 minutes et d'un autre mesurant une durée de 9 minutes. Son compatriote Samuel affirme: "on y arrivera facilement, car \(2*9-15=3^n\)
1) Expliquer concrètement comment Bruce peut mesurer 3 minutes à l'aide de ses deux sabliers et de l'indication de Samuel.
2) Résoudre dans \(Z^2\) l'équation diophantienne : \((E): 9x+15y=3\) qui traduit la situation à laquelle sont confrontés Bruce et Samuel. On utilisera, à titre de solution particulière, l'idée de résolution fournie par Samuel.
3) Bruce et Samuel peuvent-ils mesurer ainsi n'importe quelle durée d en minutes ?
Si non, quelles sont les durées qu'ils peuvent mesurer, et celles qui leur sont inaccessibles ?
4) La méthode de résolution proposée par Samuel a du sens parce qu'elle isole 3 minutes comme soustraction entre un multiple de 9 et un multiple de 15, ce qui sous-entend que les solutions de \((E)\) doivent être de signes contraires.
a. Décrire les solutions de \((E)\) pour lesquelles on a \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y\leq 0 & \end{matrix}\right.\)
La première doit être la solution particulière déjà utilisée. Donner celle d'après et expliquer concrètement la manipulation correspondante pour "isoler" les 3 minutes à l'aide des deux sabliers.
b. Décrire les solutions de \((E)\) pour lesquelles on a \(\left\{\begin{matrix} x\leq 0 & \\ y\geq 0 & \end{matrix}\right.\)
Prendre un exemple concret d'une telle solution et décrire la manipulation correspondante. Qu'est-ce qui a changé par rapport à la question 4)a. ?
5) On appelle "manipulation" le fait de retourner un des sabliers.
Par exemple, la méthode proposée initialement par Samuel comporte 3 manipulations.
a. Pour une solution quelconque \((x;y)\) de \((E)\), quel est le nombre de manipulations ?
On distinguera les deux cas étudiés dans la question 4)
b. Déterminer toutes les méthodes que Bruce et Samuel peuvent envisager en moins de 30 manipulations.
c. Quels sont tous les nombres de manipulations pour lesquels il est possible de trouver une méthode de résolution ?
6) Si l'objectif avait été de délimiter une durée de 3 heures et 51 minutes, vérifier que la solution \((x;y)=(14;7)\) conviendrait. Interpréter celle-ci concrètement: que suffit-il de faire alors avec les 2 sabliers ?
On considère alors une durée quelconque \(d\) conforme à la condition trouvée dans la question 3).
Résoudre l'équation générale : \((E_{d}): 9x+15y=d\) puis montrer que si cette durée \(d\) est supérieure à trois quarts d'heure, on est certain qu'il existera des solutions positives.
J'ai réussi la 2 je pense, mais je ne vois pas quoi répondre à la 1) ...
Merci d'avance !