Euclide

Retrouver tous les sujets résolus.
Maxine

Euclide

Message par Maxine » jeu. 25 mars 2021 16:39

Bonjour !

Je bloque sur un sujet de maths assez compliqué... J'ai besoin d'aide svp.
L'énoncé:

Dans le film "Die hard 3", Bruce Willis et Samuel Jackson font face à une énigme qu'ils réussissent avec succès: mettre 4 gallons d'eau dans un bidon grâce à une fontaine et 2 bidons contenant respectivement 5 gallons et 3 gallons.
Dans notre cas, Bruce à la mission de mesurer une durée de 3 minutes à l'aide d'un sablier mesurant une durée de 15 minutes et d'un autre mesurant une durée de 9 minutes. Son compatriote Samuel affirme: "on y arrivera facilement, car \(2*9-15=3^n\)

1) Expliquer concrètement comment Bruce peut mesurer 3 minutes à l'aide de ses deux sabliers et de l'indication de Samuel.

2) Résoudre dans \(Z^2\) l'équation diophantienne : \((E): 9x+15y=3\) qui traduit la situation à laquelle sont confrontés Bruce et Samuel. On utilisera, à titre de solution particulière, l'idée de résolution fournie par Samuel.

3) Bruce et Samuel peuvent-ils mesurer ainsi n'importe quelle durée d en minutes ?
Si non, quelles sont les durées qu'ils peuvent mesurer, et celles qui leur sont inaccessibles ?

4) La méthode de résolution proposée par Samuel a du sens parce qu'elle isole 3 minutes comme soustraction entre un multiple de 9 et un multiple de 15, ce qui sous-entend que les solutions de \((E)\) doivent être de signes contraires.
a. Décrire les solutions de \((E)\) pour lesquelles on a \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y\leq 0 & \end{matrix}\right.\)
La première doit être la solution particulière déjà utilisée. Donner celle d'après et expliquer concrètement la manipulation correspondante pour "isoler" les 3 minutes à l'aide des deux sabliers.
b. Décrire les solutions de \((E)\) pour lesquelles on a \(\left\{\begin{matrix} x\leq 0 & \\ y\geq 0 & \end{matrix}\right.\)
Prendre un exemple concret d'une telle solution et décrire la manipulation correspondante. Qu'est-ce qui a changé par rapport à la question 4)a. ?

5) On appelle "manipulation" le fait de retourner un des sabliers.
Par exemple, la méthode proposée initialement par Samuel comporte 3 manipulations.
a. Pour une solution quelconque \((x;y)\) de \((E)\), quel est le nombre de manipulations ?
On distinguera les deux cas étudiés dans la question 4)
b. Déterminer toutes les méthodes que Bruce et Samuel peuvent envisager en moins de 30 manipulations.
c. Quels sont tous les nombres de manipulations pour lesquels il est possible de trouver une méthode de résolution ?

6) Si l'objectif avait été de délimiter une durée de 3 heures et 51 minutes, vérifier que la solution \((x;y)=(14;7)\) conviendrait. Interpréter celle-ci concrètement: que suffit-il de faire alors avec les 2 sabliers ?
On considère alors une durée quelconque \(d\) conforme à la condition trouvée dans la question 3).
Résoudre l'équation générale : \((E_{d}): 9x+15y=d\) puis montrer que si cette durée \(d\) est supérieure à trois quarts d'heure, on est certain qu'il existera des solutions positives.

J'ai réussi la 2 je pense, mais je ne vois pas quoi répondre à la 1) ...
Merci d'avance !
sos-math(21)
Messages : 8786
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Euclide

Message par sos-math(21) » jeu. 25 mars 2021 16:53

Bonjour,
Si tu retournes les deux sabliers en même temps, au bout de 9 minutes, le plus petit sablier est écoulé et tu le retournes aussitôt.
Le prochain sablier écoulé sera le grand, au bout de 15 minutes, soit 6 minutes après avoir retourné le petit sablier pour la deuxième fois. À ce moment là, quelle durée reste-t-il pour que ce plus petit sablier finisse de s'écouler ?
Bonne continuation
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » jeu. 25 mars 2021 17:05

Il restera 3 minutes pour que le petit sablier finisse de s'écouler. Merci pour votre explication !
Du coup pour l'affirmation de Samuel, je peux dire que si je retourne deux fois le petit sablier de 9 minutes et une fois le sablier de 15 minutes, il me restera 3 minutes ?
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » ven. 26 mars 2021 09:51

Bonjour,
Avez-vous reçu ma réponse ?
sos-math(21)
Messages : 8786
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Euclide

Message par sos-math(21) » ven. 26 mars 2021 09:56

Bonjour,
oui, c'est cela, en faisant la manipulation décrite, la durée de 3 minutes correspondra au temps qu'il faudra pour que le deuxième sablier de 9 minutes finisse de s'écouler à partir du moment où le sablier de 15 minutes aura fini de s'écouler.
Bonne continuation
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » ven. 26 mars 2021 18:56

D'accord merci beaucoup !


Pour la question 2):
Le PGCD de 9 et 15 et 3. Or 3|3 donc l'équation a des solutions dans \(Z^2\).

- On simplifie l'équation par le PGCD. \((E): 3x+5y=1\)
- On cherche une combinaison linéaire de 3 et 5 égale à 1. (j'ai fait l'algorithme d'Euclide en le remontant pour trouver u et v dans \(au+bv=1\)) On trouve \(u=2\) et \(v=-1\) pour \(3u+5v=1\)
- On en déduit une solution particulière. \(3u+5v=1\) donc \(3x_{0}+5y_{0}=1\) avec \(\left\{\begin{matrix} x_{0}=1u=2 & \\ y_{0}=1v=-1 & \end{matrix}\right.\)
- On peut maintenant reformuler l'équation.
\((E): 3x+5y=1\)
--> \(3x+5y=3x_{0}+5y_{0}\)
--> \(3(x-x_{0})=5(y_{0}-y)\)
- Théorème de Gauss: d'après l'équation reformulée, 3 divise \(5(y_{0}-y)\). Or 3 et 5 sont premiers entre eux, donc 3 divise \(y_{0}-y\)
et donc \(y_{0}-y=3k\)
Par conséquent, l'équation devient :
\(3(x-x_{0})= 15k\)
--> \(x-x_{0}=5k\)
Ainsi tex]\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+5k= 2+5k & \\ y= y_{0}-3k= -1-3k & \end{matrix}\right.[/tex]
- Réciproque: \(3(2+5k)+5(-1-3k)\) = \(1\)
C'est bon
- On en conclut que l'équation a pour solutions : \(S= {(2+5k; -1-3k)}\)

Mais je ne comprends pas ce qu'ils veulent dire par "On utilisera à titre de solution particulière l'idée de résolution fournie par Samuel" ?
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » sam. 27 mars 2021 10:08

C'est juste ce que j'ai fait ? :)
SoS-Math(25)
Messages : 1745
Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39

Re: Euclide

Message par SoS-Math(25) » sam. 27 mars 2021 10:55

Bonjour Maxine,

Cela me semble correct.

La solution proposée par Samuel était : 2*9+(-1)*15 = 3. On retrouve ici les coefficients 2 et -1 que tu as calculé autrement.

A bientôt
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » sam. 27 mars 2021 11:02

D'accord merci !
Pour la 3), faut-il que j'utilise le PGCD ? Je ne vois pas par où commencer.
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » sam. 27 mars 2021 13:01

Ou faut-il que j'utilise le théorème de Gauss ? Je suis bloquée à la 3)
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » sam. 27 mars 2021 15:42

je suis toujours bloquée...
SoS-Math(25)
Messages : 1745
Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39

Re: Euclide

Message par SoS-Math(25) » sam. 27 mars 2021 16:58

Si le temps à mesurer est un multiple de 3, peuvent-ils le faire avec ces deux sabliers ?

Prends par exemple 6 minutes puis 3n avec n entier positif.

Peuvent-il mesurer 5 minutes ? Un temps qui ne serait pas un multiple de 3 ?

Bon courage
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » sam. 27 mars 2021 20:13

Ah oui donc il faut que la durée d mesurée soit obligatoirement un multiple de 3. Et les durée inaccessibles sont celles qui ne sont pas des multiples de 3 ?
SoS-Math(25)
Messages : 1745
Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39

Re: Euclide

Message par SoS-Math(25) » dim. 28 mars 2021 11:21

Bonjour Maxine,

A partir des solutions que tu as trouvé pour résoudre 9x+15y = 3, tu peux en déduire des solutions pour 9x+15y = 3n avec n entier positif.

Ensuite, utilise le PGCD pour monter qu'il n'existe pas de solution pour 9x+15y = d avec d non multiple de 3...

Bon courage
Maxine

Re: Euclide

Message par Maxine » lun. 5 avr. 2021 10:24

Bonjour !

Merci pour votre réponse.
Du coup si j'utilise les solutions trouvées dans la question précédente:

\(9x+15y=3^n\)
\(<=> 9(2+5k)+15(-1-3k)=3^n\)
\(<=> 18+45k-15-45k=3^n\)
\(<=> 3=3^n\)

Donc la durée d mesurée est un multiple de 3 ? (je ne sais pas si ma justification est juste)

Je ne sais plus comment il faut utiliser le PGCD pour montrer qu'il n'existe pas de solution avec d non multiple de 3..