Congruences

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Remi

Congruences

Message par Remi » jeu. 11 mars 2021 16:53

Bonjour j'ai 3 questions sur les congruences svp
1) 3x = 12 [97] 2) 14x= 9[63] 3) 5x =15 [30]

Pouvez me donner quelques pistes svp je ne sais pas quel méthode je dois utilisé
Merci d'avance.
sos-math(21)
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Re: Congruences

Message par sos-math(21) » jeu. 11 mars 2021 17:15

Bonjour,
le problème peut se ramener à une identité de Bézout.
En effet, si on considère la première équation :
\(x\) est solution si et seulement si il existe \(y\) entier tel que \(3x-12=97y\) soit \(3x-97y=12\).
Il reste alors à se poser la question de savoir si cette équation a des solutions : il faut regarder le pgcd de 3 et de 97 : est-ce qu'il divise 12 ?
On voit facilement que oui, car ce pgcd vaut 1. Ensuite il s'agira de trouver des coefficients de Bézout : là encore c'est facile car 3 divise 12 donc avec \(x=4\) et \(y=0\), cela fonctionne.
Il faut faire la même chose avec les autres équations, en passant par l'identité de Bézout (il y a peut-être d'autres méthodes).
Bon calcul
Remi

Re: Congruences

Message par Remi » jeu. 11 mars 2021 18:22

Merci
Donc pour 1) j'ai trouvé x= -12×32 +97y=-374+97y
2) pas de solution mais je sait pas comment rédiger la réponse
3) x= 2+30y
C'est ça ?
sos-math(21)
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Re: Congruences

Message par sos-math(21) » jeu. 11 mars 2021 19:12

Bonjour,
si on remplace \(x\) par \(-374+97y\), alors on a \(3x=-1122+3\times 97y\equiv 42\,[97]\) donc il doit y a avoir une erreur.
Avec les coefficients de Bézout que l'on a trouvé, \(x=4+97k\), avec \(k\in\mathbb{Z}\) devrait convenir.
Pour le deuxième, il n'y a pas de solution car le pgcd de 14 et 63 est égal à 7 et il ne divise pas 9 donc pas de solution.
Et pour le dernier, le pgcd de 5 et 30 est égal à 5 et il divise 5 donc il y a des solutions : \(x=3+30k\) avec \(k\in\mathbb{Z}\) convient.
En revanche si on prend \(x=2+30y \), alors \(5x=10+5\times 30y\equiv 10\,[30]\) donc cela ne convient pas.
Bonne continuation
Remi

Re: Congruences

Message par Remi » jeu. 11 mars 2021 20:00

Bonsoir en 1) -12×32=-384 j'ai marqué-374
Donc x= -384 +97y
En 3) x= 3 +30 y effectivement j'ai mit 2 parce que j'ai prit 10 au lieu de 15.
Pour la1 j'ai utilisé 3 et 97 premiers entre-eux donc 3u+97v=1 d'après th de Bezout et j'ai trouvé 3×(-32)+97×1=1 ensuite j'ai multiplié par 12 et en combinant avec 3x-97y=12
Je trouve x=-384 +97y est-ce que c'est bon ?
Merci beaucoup
sos-math(21)
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Re: Congruences

Message par sos-math(21) » jeu. 11 mars 2021 20:32

Bonjour,
oui c'est correct, on a simplement l'habitude de prendre un entier entre 0 et 97 pour donner la forme des solutions : \(4+97k\) (un peu comme les solutions d'équations trigonométriques dans \([0\,;\,2\pi]\).
En effet, \(-384+97\times 4=4\) donc \(-384\equiv 4\,[97]\)
Donc ta démarche et ta résolution sont correctes.
Bonne continuation
Remi

Re: Congruences

Message par Remi » jeu. 11 mars 2021 21:27

Merci beaucoup.
Bonne soirée.
sos-math(21)
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Re: Congruences

Message par sos-math(21) » jeu. 11 mars 2021 21:28

Bonsoir Rémi,
je verrouille le sujet.
Bonne continuation