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Message par Invité » mar. 9 mars 2021 09:54

Bonjour, comment calculer cet intégrale svp \(\int \frac{1}{\sqrt{x}+1}dx\)
SoS-Math(34)
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Re: integral

Message par SoS-Math(34) » mar. 9 mars 2021 10:12

Bonjour,

Cette question ne concerne pas les programmes de lycée, je ne sais pas quel cursus tu suis, mais voici une piste.
Tu peux effectuer un changement de variable en posant : \(u=\sqrt{t}\).
Tu peux éventuellement regarder cette vidéo pour t'aider :
https://www.youtube.com/watch?v=bhyxfSsalAg

Bonne recherche
sosmaths
Invité

Re: integral

Message par Invité » mar. 9 mars 2021 10:40

D'accord merci beaucoup
SoS-Math(34)
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Re: integral

Message par SoS-Math(34) » mar. 9 mars 2021 14:08

Si tu choisis le changement de variable que j'ai proposé, équivalent ici à x = u² si tu préfères, tu pourras répondre à ta question.
Tu dois normalement trouver comme primitive, à une constante près, F telle que F(x) = \(2\sqrt{x}-2ln(\sqrt{x}+1)\) pour tout x de ]0;+oo[.

Bonne recherche,
sosmaths
Invité

Re: integral

Message par Invité » mar. 9 mars 2021 20:57

SoS-Math(34) a écrit :
mar. 9 mars 2021 14:08
Si tu choisis le changement de variable que j'ai proposé, équivalent ici à x = u² si tu préfères, tu pourras répondre à ta question.
Tu dois normalement trouver comme primitive, à une constante près, F telle que F(x) = \(2\sqrt{x}-2ln(\sqrt{x}+1)\) pour tout x de ]0;+oo[.

Bonne recherche,
sosmaths
Madame 34
Bonjour pourquoi x doit être différent de 0
Merci
sos-math(21)
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Re: integral

Message par sos-math(21) » mar. 9 mars 2021 21:10

Bonjour,
tu effectues un changement de variable avec une racine carrée. Or le théorème du changement de variable n'est valable que si la fonction de changement de variable est dérivable sur l'intervalle d'intégration.
Or racine carrée est certes définie sur \([0\,;\,+\infty[\) mais elle n'est dérivable que sur \(]0\,;\,+\infty[\).
D'où le \(x\neq 0\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Invité

Re: integral

Message par Invité » mar. 9 mars 2021 21:35

sos-math(21) a écrit :
mar. 9 mars 2021 21:10
Bonjour,
tu effectues un changement de variable avec une racine carrée. Or le théorème du changement de variable n'est valable que si la fonction de changement de variable est dérivable sur l'intervalle d'intégration.
Or racine carrée est certes définie sur \([0\,;\,+\infty[\) mais elle n'est dérivable que sur \(]0\,;\,+\infty[\).
D'où le \(x\neq 0\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Bonsoir,
Mais la fonction F est bien derivable en 0: je viens de vérifier.
Invité

Re: integral

Message par Invité » mar. 9 mars 2021 22:17

Invité a écrit :
mar. 9 mars 2021 20:57
SoS-Math(34) a écrit :
mar. 9 mars 2021 14:08
Si tu choisis le changement de variable que j'ai proposé, équivalent ici à x = u² si tu préfères, tu pourras répondre à ta question.
Tu dois normalement trouver comme primitive, à une constante près, F telle que F(x) = \(2\sqrt{x}-2ln(\sqrt{x}+1)\) pour tout x de ]0;+oo[.

Bonne recherche,
sosmaths
Madame 34
Bonjour pourquoi x doit être différent de 0
Merci
Je reformule ma question : F est bien derivable sur R+ alors pourquoi x doit être différent de 0?
sos-math(21)
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Re: integral

Message par sos-math(21) » mar. 9 mars 2021 22:30

Bonjour,
on est d'accord que \(F\) est dérivable en 0 mais ce n'est pas cela qui pose problème, c'est plutôt le changement de variable : est-il licite ou pas en 0 ?
Le problème est qu'au moment du changement de variable dans \(\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{u}+1}\text{d}u\), on compose l'intégrande avec \(\varphi : u\mapsto\sqrt{u}\), laquelle n'est pas dérivable en 0. Or il faut que la fonction de changement de variable soit dérivable sur l'intervalle d'intégration.
Cela n'empêche pas la fonction "terminale" d'être dérivable en 0 mais c'est la manipulation dans le changement de variable qui est sujette à caution (mais je ne suis sûr de rien).
Bonne continuation
Invité

Re: integral

Message par Invité » mar. 9 mars 2021 23:00

sos-math(21) a écrit :
mar. 9 mars 2021 22:30
Bonjour,
on est d'accord que \(F\) est dérivable en 0 mais ce n'est pas cela qui pose problème, c'est plutôt le changement de variable : est-il licite ou pas en 0 ?
Le problème est qu'au moment du changement de variable dans \(\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{u}+1}\text{d}u\), on compose l'intégrande avec \(\varphi : u\mapsto\sqrt{u}\), laquelle n'est pas dérivable en 0. Or il faut que la fonction de changement de variable soit dérivable sur l'intervalle d'intégration.
Cela n'empêche pas la fonction "terminale" d'être dérivable en 0 mais c'est la manipulation dans le changement de variable qui est sujette à caution (mais je ne suis sûr de rien).
Bonne continuation
Merci pour votre réponse si sincère
Pour moi:
•Le changement de variable doit être une bijection ( cela me paraît logique) ,
• d'autre part, toujours pour moi, si F, obtenue par changement de variable ou autre, est derivable sur I alors F' est bien définie sur I 'donc' f=F' sur I.
Vous me faites part de vos remarques si je me trompe.
Merci .
Invité

Re: integral

Message par Invité » mer. 10 mars 2021 12:40

sos-math(21) a écrit :
mar. 9 mars 2021 22:30
Bonjour,
on est d'accord que \(F\) est dérivable en 0 mais ce n'est pas cela qui pose problème, c'est plutôt le changement de variable : est-il licite ou pas en 0 ?
Le problème est qu'au moment du changement de variable dans \(\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{u}+1}\text{d}u\), on compose l'intégrande avec \(\varphi : u\mapsto\sqrt{u}\), laquelle n'est pas dérivable en 0. Or il faut que la fonction de changement de variable soit dérivable sur l'intervalle d'intégration.
Cela n'empêche pas la fonction "terminale" d'être dérivable en 0 mais c'est la manipulation dans le changement de variable qui est sujette à caution (mais je ne suis sûr de rien).
Bonne continuation
Pourquoi une fonction F dérivable sur I =R+ empêche de conclure que F es une primitive de f sur I ?
Que F soit obtenue par un changement de variable ou non.

D'ailleurs comment justifier qu'une primitive F de fsur I n'est pas obtenue par un changement de variable ?
Merci de votre réponse.
sos-math(21)
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Re: integral

Message par sos-math(21) » mer. 10 mars 2021 14:25

Bonjour,
on est bien d'accord que la primitive obtenue est dérivable, par définition d'une primitive.
D'une manière générale, lorsqu'on cherche des primitives par changement de variable, on le fait souvent de manière formelle, c'est-à-dire qu'on met un peu de côté les domaines de définition des fonctions considérées et qu'on se concentre sur le mécanisme du calcul intégral.
La preuve en est, c'est que l'on ne met pas de bornes sur le signe intégral, ce qui sous-entend que ces bornes ne sont pas essentielles dans la construction.
En toute, rigueur, je pense qu'il faudrait considérer un réel \(M>0\) et calculer pour \(x>M\), \(\displaystyle \int_{M}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t\). On proposerait ensuite le changement de variable de classe \(\mathcal{C}^1\) : \(\varphi : u\mapsto u^2\) défini sur \([\sqrt{M}\,;\,\sqrt{x}]\) à valeurs dans \([M\,;\,x]\) qui donnerait ensuite donc \(t=u^2\) et \(\text{d}t=2u\text{du}\) et par changement de variable, on aurait :
\(\displaystyle \int_{M}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t=\int_{\varphi(\sqrt{M})}^{\varphi(\sqrt{x})}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t=\int_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}} f(\varphi(u))\varphi'(u)du=\int_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}}\dfrac{2u}{u+1}\text{d}u=\int_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}}\dfrac{2(u+1)}{u+1}-\dfrac{u}{u+1}\text{d}u\)
ce qui donne
\(\displaystyle \int_{M}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t=\left[2u-\ln(u+1)]\right]_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}-\ln(\sqrt{x}+1)-2\sqrt{M}+\ln(\sqrt{M}+1)\)

Une fois qu'une primitive est obtenue, on peut effectivement oublier en quelque sorte le chemin qui nous y a conduit.
La primitive obtenue, à une constante près, est bien définie et dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\).
Peut-on clore cette digression qui dépasse largement le niveau et les objectifs de ce forum, qui rappelons-le doit venir en aide aux élèves du secondaire ?
Ce qui implique qu'il n'a pas vocation entretenir des échanges trop longs sur des mathématiques universitaires : d'autres forums s'en chargent beaucoup mieux.
Bonne continuation
Invité

Re: integral

Message par Invité » mer. 10 mars 2021 17:02

sos-math(21) a écrit :
mer. 10 mars 2021 14:25
Bonjour,
on est bien d'accord que la primitive obtenue est dérivable, par définition d'une primitive.
D'une manière générale, lorsqu'on cherche des primitives par changement de variable, on le fait souvent de manière formelle, c'est-à-dire qu'on met un peu de côté les domaines de définition des fonctions considérées et qu'on se concentre sur le mécanisme du calcul intégral.
La preuve en est, c'est que l'on ne met pas de bornes sur le signe intégral, ce qui sous-entend que ces bornes ne sont pas essentielles dans la construction.
En toute, rigueur, je pense qu'il faudrait considérer un réel \(M>0\) et calculer pour \(x>M\), \(\displaystyle \int_{M}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t\). On proposerait ensuite le changement de variable de classe \(\mathcal{C}^1\) : \(\varphi : u\mapsto u^2\) défini sur \([\sqrt{M}\,;\,\sqrt{x}]\) à valeurs dans \([M\,;\,x]\) qui donnerait ensuite donc \(t=u^2\) et \(\text{d}t=2u\text{du}\) et par changement de variable, on aurait :
\(\displaystyle \int_{M}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t=\int_{\varphi(\sqrt{M})}^{\varphi(\sqrt{x})}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t=\int_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}} f(\varphi(u))\varphi'(u)du=\int_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}}\dfrac{2u}{u+1}\text{d}u=\int_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}}\dfrac{2(u+1)}{u+1}-\dfrac{u}{u+1}\text{d}u\)
ce qui donne
\(\displaystyle \int_{M}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t=\left[2u-\ln(u+1)]\right]_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}-\ln(\sqrt{x}+1)-2\sqrt{M}+\ln(\sqrt{M}+1)\)

Une fois qu'une primitive est obtenue, on peut effectivement oublier en quelque sorte le chemin qui nous y a conduit.
La primitive obtenue, à une constante près, est bien définie et dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\).
Peut-on clore cette digression qui dépasse largement le niveau et les objectifs de ce forum, qui rappelons-le doit venir en aide aux élèves du secondaire ?
Ce qui implique qu'il n'a pas vocation entretenir des échanges trop longs sur des mathématiques universitaires : d'autres forums s'en chargent beaucoup mieux.
Bonne continuation
Ma question est simple: pourquoi une fonction F dérivable sur I empêche de conclure que F est une primitive de f sur I?
En l'occurrence, pourquoi F(x)=2rc(x) -2Ln[ rc(x)+1] n'est-elle pas une primitive de f(x)=1/[1+rc(x)] sur R+ ?

Pourtant F est bien derivable sur I=R+ et F'(x)= f(x) sur I=R+?

C'est bien une question qui relève du programme en France
Pourquoi vous parlez alors de : ' classe C1 ' , phi, u , x, t , M, ... .etc pour arriver enfin à F(x)= 2rc(x)- Ln[1+rc(x)] ?
sos-math(21)
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Re: integral

Message par sos-math(21) » mer. 10 mars 2021 19:13

Bonjour,
je pense que je réponds à côté de votre demande.
Je m'efforce d'expliquer le principe du changement de variable mais ce n'est pas ce que vous attendez et je pense que je ne vous ai pas compris.
Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) on appelle primitive de \(f\) sur \(I\), toute fonction de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(I\) et dont la dérivée est égale à \(f\).
Donc si vous trouvez une fonction \(F\) définie et dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\) telle que \(F'(x)=f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\), alors \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\).
Ainsi, la fonction \(F\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(F(x)=2\sqrt{x}-2\ln(\sqrt{x}+1)\) est bien une primitive de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\) car elle dérivable et sa dérivée est égal à \(f\). Pour le vérifier, il suffit de dériver \(F\).
Nous sommes donc bien d'accord.
Bonne continuation
Invité

Re: integral

Message par Invité » mer. 10 mars 2021 20:31

sos-math(21) a écrit :
mer. 10 mars 2021 19:13
Bonjour,
je pense que je réponds à côté de votre demande.
Je m'efforce d'expliquer le principe du changement de variable mais ce n'est pas ce que vous attendez et je pense que je ne vous ai pas compris.
Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) on appelle primitive de \(f\) sur \(I\), toute fonction de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(I\) et dont la dérivée est égale à \(f\).
Donc si vous trouvez une fonction \(F\) définie et dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\) telle que \(F'(x)=f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\), alors \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\).
Ainsi, la fonction \(F\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(F(x)=2\sqrt{x}-2\ln(\sqrt{x}+1)\) est bien une primitive de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\) car elle dérivable et sa dérivée est égal à \(f\). Pour le vérifier, il suffit de dériver \(F\).
Nous sommes donc bien d'accord.
Bonne continuation
Bonjour,
Pour le vérifier on calcule F'(x) et la limite du taux de variation de F en 0 car c'etait là le point de discorde.
Ce n'est donc pas d'une 'digression ' de ma part, j'en suis soulagé. Merci.
Cela aurait été plus simple si votre collègue madame la 34 avait répondu car c'est elle qui a " donné " la solution en rajoutant l 'intervalle]0; +00[ .
En tout cas, merci beaucoup.
Verrouillé