SOS Math est un forum de mathématiques où des professeurs de l'académie de Poitiers répondent aux questions que leur soumettent des élèves. Il est inutile de s'enregistrer pour bénéficier de cette aide gratuite en maths.
https://sosmath.ac-poitiers.fr/
Madame 34SoS-Math(34) a écrit : ↑mar. 9 mars 2021 14:08Si tu choisis le changement de variable que j'ai proposé, équivalent ici à x = u² si tu préfères, tu pourras répondre à ta question.
Tu dois normalement trouver comme primitive, à une constante près, F telle que F(x) = \(2\sqrt{x}-2ln(\sqrt{x}+1)\) pour tout x de ]0;+oo[.
Bonne recherche,
sosmaths
Bonsoir,sos-math(21) a écrit : ↑mar. 9 mars 2021 21:10Bonjour,
tu effectues un changement de variable avec une racine carrée. Or le théorème du changement de variable n'est valable que si la fonction de changement de variable est dérivable sur l'intervalle d'intégration.
Or racine carrée est certes définie sur \([0\,;\,+\infty[\) mais elle n'est dérivable que sur \(]0\,;\,+\infty[\).
D'où le \(x\neq 0\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Je reformule ma question : F est bien derivable sur R+ alors pourquoi x doit être différent de 0?Invité a écrit : ↑mar. 9 mars 2021 20:57Madame 34SoS-Math(34) a écrit : ↑mar. 9 mars 2021 14:08Si tu choisis le changement de variable que j'ai proposé, équivalent ici à x = u² si tu préfères, tu pourras répondre à ta question.
Tu dois normalement trouver comme primitive, à une constante près, F telle que F(x) = \(2\sqrt{x}-2ln(\sqrt{x}+1)\) pour tout x de ]0;+oo[.
Bonne recherche,
sosmaths
Bonjour pourquoi x doit être différent de 0
Merci
Merci pour votre réponse si sincèresos-math(21) a écrit : ↑mar. 9 mars 2021 22:30Bonjour,
on est d'accord que \(F\) est dérivable en 0 mais ce n'est pas cela qui pose problème, c'est plutôt le changement de variable : est-il licite ou pas en 0 ?
Le problème est qu'au moment du changement de variable dans \(\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{u}+1}\text{d}u\), on compose l'intégrande avec \(\varphi : u\mapsto\sqrt{u}\), laquelle n'est pas dérivable en 0. Or il faut que la fonction de changement de variable soit dérivable sur l'intervalle d'intégration.
Cela n'empêche pas la fonction "terminale" d'être dérivable en 0 mais c'est la manipulation dans le changement de variable qui est sujette à caution (mais je ne suis sûr de rien).
Bonne continuation
Pourquoi une fonction F dérivable sur I =R+ empêche de conclure que F es une primitive de f sur I ?sos-math(21) a écrit : ↑mar. 9 mars 2021 22:30Bonjour,
on est d'accord que \(F\) est dérivable en 0 mais ce n'est pas cela qui pose problème, c'est plutôt le changement de variable : est-il licite ou pas en 0 ?
Le problème est qu'au moment du changement de variable dans \(\displaystyle \int_{}^{}\dfrac{1}{\sqrt{u}+1}\text{d}u\), on compose l'intégrande avec \(\varphi : u\mapsto\sqrt{u}\), laquelle n'est pas dérivable en 0. Or il faut que la fonction de changement de variable soit dérivable sur l'intervalle d'intégration.
Cela n'empêche pas la fonction "terminale" d'être dérivable en 0 mais c'est la manipulation dans le changement de variable qui est sujette à caution (mais je ne suis sûr de rien).
Bonne continuation
Ma question est simple: pourquoi une fonction F dérivable sur I empêche de conclure que F est une primitive de f sur I?sos-math(21) a écrit : ↑mer. 10 mars 2021 14:25Bonjour,
on est bien d'accord que la primitive obtenue est dérivable, par définition d'une primitive.
D'une manière générale, lorsqu'on cherche des primitives par changement de variable, on le fait souvent de manière formelle, c'est-à-dire qu'on met un peu de côté les domaines de définition des fonctions considérées et qu'on se concentre sur le mécanisme du calcul intégral.
La preuve en est, c'est que l'on ne met pas de bornes sur le signe intégral, ce qui sous-entend que ces bornes ne sont pas essentielles dans la construction.
En toute, rigueur, je pense qu'il faudrait considérer un réel \(M>0\) et calculer pour \(x>M\), \(\displaystyle \int_{M}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t\). On proposerait ensuite le changement de variable de classe \(\mathcal{C}^1\) : \(\varphi : u\mapsto u^2\) défini sur \([\sqrt{M}\,;\,\sqrt{x}]\) à valeurs dans \([M\,;\,x]\) qui donnerait ensuite donc \(t=u^2\) et \(\text{d}t=2u\text{du}\) et par changement de variable, on aurait :
\(\displaystyle \int_{M}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t=\int_{\varphi(\sqrt{M})}^{\varphi(\sqrt{x})}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t=\int_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}} f(\varphi(u))\varphi'(u)du=\int_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}}\dfrac{2u}{u+1}\text{d}u=\int_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}}\dfrac{2(u+1)}{u+1}-\dfrac{u}{u+1}\text{d}u\)
ce qui donne
\(\displaystyle \int_{M}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{t}+1}\text{d}t=\left[2u-\ln(u+1)]\right]_{\sqrt{M}}^{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}-\ln(\sqrt{x}+1)-2\sqrt{M}+\ln(\sqrt{M}+1)\)
Une fois qu'une primitive est obtenue, on peut effectivement oublier en quelque sorte le chemin qui nous y a conduit.
La primitive obtenue, à une constante près, est bien définie et dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\).
Peut-on clore cette digression qui dépasse largement le niveau et les objectifs de ce forum, qui rappelons-le doit venir en aide aux élèves du secondaire ?
Ce qui implique qu'il n'a pas vocation entretenir des échanges trop longs sur des mathématiques universitaires : d'autres forums s'en chargent beaucoup mieux.
Bonne continuation
Donc si vous trouvez une fonction \(F\) définie et dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\) telle que \(F'(x)=f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\), alors \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\).Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) on appelle primitive de \(f\) sur \(I\), toute fonction de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(I\) et dont la dérivée est égale à \(f\).
Bonjour,sos-math(21) a écrit : ↑mer. 10 mars 2021 19:13Bonjour,
je pense que je réponds à côté de votre demande.
Je m'efforce d'expliquer le principe du changement de variable mais ce n'est pas ce que vous attendez et je pense que je ne vous ai pas compris.Donc si vous trouvez une fonction \(F\) définie et dérivable sur \([0\,;\,+\infty[\) telle que \(F'(x)=f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\), alors \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\).Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) on appelle primitive de \(f\) sur \(I\), toute fonction de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), dérivable sur \(I\) et dont la dérivée est égale à \(f\).
Ainsi, la fonction \(F\) définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(F(x)=2\sqrt{x}-2\ln(\sqrt{x}+1)\) est bien une primitive de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\) car elle dérivable et sa dérivée est égal à \(f\). Pour le vérifier, il suffit de dériver \(F\).
Nous sommes donc bien d'accord.
Bonne continuation