loi binomiale par fontion affine

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Cédric

loi binomiale par fontion affine

Message par Cédric » sam. 6 mars 2021 15:40

Bonjour,
si X suit la loi binomiale de paramètres n=2 et p=0,2 alors Y=aX+b a une espérance de 0,4 a + b et une variance de 0,32 a² n'est-ce pas ?
Mais peut-on dire que Y suit une loi binomiale ???
Merci !
C.
sos-math(21)
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Re: loi binomiale par fontion affine

Message par sos-math(21) » sam. 6 mars 2021 16:42

Bonjour,
l'espérance est linéaire \(E(aX+b)=aE(X)+b\) donc si \(X\) suit la loi binomiale \(E(X)=np\) et \(E(aX+b)=anp+b\) : c'est ce que tu as trouvé.
Pour la variance, on a \(V(aX+b)=a^2V(X)=a^2np(1-p)\) pour une loi binomiale.
En revanche, une transformée affine d'une variable suivant une loi binomiale, ne suit pas forcément une loi binomiale : une variable aléatoire suivant une loi binomiale est à valeurs dans \(\lbrace 0,...,n\rbrace\) et une variable aléatoire \(aX+b\) peut prendre ses valeurs sur des réels non entiers... il suffit de prendre des coefficients non entiers donc elle ne peut pas être modélisée par une loi binomiale. Donc il n'y a pas de propriété générale.
Je ne sais pas si j'ai été clair.
Bonne continuation
Cédric

Re: loi binomiale par fontion affine

Message par Cédric » sam. 6 mars 2021 17:20

Merci beaucoup ! Tout est parfaitement clair !
C.
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