Etude de la convexité d'une fonction

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Nathan

Etude de la convexité d'une fonction

Message par Nathan » jeu. 4 mars 2021 14:37

Bonjour ! J'ai fait un exo type bac de mon livre pour me préparer à une éval mais celui ci n'est pas corrigé et je n'arrive pas à le faire entièrement ?
Pouvez vous corriger mes éventuelles erreurs et m'aider pour les questions sur lesquelles je bloque ? Merci !


On considère la fonction f définie sur R par f(x)=2e^x/e^x+1
1. Calculer la limite de la fonction f en moins l'infini et interpréter graphiquement le résultat.
2.montrer que la droite d'équation y=2 est asymptote horizontale à la courbe C.
3.a Montrer que pour xeR f'(x)=f(x)/e^x+1
b. En déduire que la fonction f est croissante sur R.
4.a Montrer que la courbe C passe par le point I(0;1) et que sa tangente en ce point a pour coeff directeur 0,5.
b. Etudier la convexité de la fonction f sur R.
c. Que peut on dire de I ?


1. La limite en -oo est égale à 0/1 soit 0.
2. Il faut faire la limite en +oo le problème c'est que je ne sais pas résoudre cette forme indéterminée...
3.a. Je n'arrive pas à faire une dérivée correcte puisque je ne retombe pas sur le résultat attendu. J'applique pourtant u'*v-u*v'/v² avec e^u' = u'e^u...
b. La fonction exponentielle est toujours croissante.
4.a. f(0)=1 mais je ne sais pas comment démontrer le coefficient directeur de 0,5.
b. Il faut faire f''(x) ?
c. I est sans doute le point d'inflexion.
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Re: Etude de la convexité d'une fonction

Message par SoS-Math(31) » jeu. 4 mars 2021 15:43

Bonjour Nathan,
1) Bien
2) Il n'y a pas de forme indéterminée :
f(x) - 2 = \(\frac{2e^{x}}{e^{x}+1}\) - 2 ce qui donne en mettant au même dénominateur f(x) - 2 = \(\frac{-2}{e^{x}+1}\)
lorsque x tend vers + infini, \(e^{x} + 1\) tend vers + infini son inverse tend vers 0, de même en miltipliant par 2.
Ainsi la droite est bien une asymptote en + infini.
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Re: Etude de la convexité d'une fonction

Message par SoS-Math(31) » jeu. 4 mars 2021 15:50

2) a) Pour la dérivée,
La dérivée que tu as obtenu est-elle égale à \(\frac{2e^{x}e^{x}+2 -2e^{x}e^{x} )}{(e^{x}+1)^{^{2}}}\)
En simplifiant le numérateur on trouve 2 puis le résultat.
2b) Il faut regarder la variation de f '
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