limite d'une suite

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limite d'une suite

Message par Invité » jeu. 4 mars 2021 08:07

Bonjour, SVP pourriez vous m'aider pour la 2eme question de cet exercice

Montrer que pour tout entier \(n\geq 2\), l'équation \(x^{n}+x-1=0\) admet une unique racine sur \([0;1]\).
Si pour \(n\geq 2\) la racine est notée par \(U_{n}\), Montrer que la suite \((U_{n})_{n\geq 2}\) est convergente et déterminer sa limite.
sos-math(21)
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » jeu. 4 mars 2021 11:17

Bonjour,
tu peux commencer par étudier les variations de la fonction \(f_n(x)=x^n+x-1 \) sur \([0\,;\,1]\).
Tu montreras (après calcul de la dérivée et étude de son signe) que ta fonction est strictement croissante sur \([0\,;\,1]\). Comme \(f_n(0)=-1\) et \(f_n(1)=1\) et que ta fonction est continue et strictement croissante, le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'il existe une unique solution pour l'équation \(f_n(x)=0\).
Il te restera ensuite à montrer que ta suite \((U_n)\) est croissante et majorée (par 1), ce qui prouvera la convergence de ta suite \(U_n\).
Cette dernière propriété est un peu plus compliquée à démontrer et je te laisse encore réfléchir.
Fais déjà le début.
Bonne continuation
Invité

Re: limite d'une suite

Message par Invité » jeu. 4 mars 2021 15:51

Oui pour la 1ere question je n'ai pas de problème , cependant pour la 2eme question (convergence et limite) là je bloque vraiment, comment savoir que la suite (Un) est croissante sans connaitre son terme général ni sa fonction attachée éventuelle ?
Merci de m'orienter et m'indiquer l'astuce
sos-math(21)
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » jeu. 4 mars 2021 16:52

Bonjour,
l'"astuce" consiste à évaluer \(f_{n+1}(u_n)\), et à obtenir le signe de cette image afin de positionner \(u_n\) vis-à-vis de \(u_{n+1}\).
Je te laisse chercher un peu.
Bonne continuation
Invité

Re: limite d'une suite

Message par Invité » jeu. 4 mars 2021 18:26

Invité a écrit :
jeu. 4 mars 2021 15:51
Oui pour la 1ere question je n'ai pas de problème , cependant pour la 2eme question (convergence et limite) là je bloque vraiment, comment savoir que la suite (Un) est croissante sans connaitre son terme général ni sa fonction attachée éventuelle ?
Merci de m'orienter et m'indiquer l'astuce
Ou encore, calculer U2 = (-1+sqrt(5))/2
Poser U3= a×U2 avec a>0
Injecter U3 dans l'equation
En déduire que a>1: cela signifie que U3>U2
Puis supposer que Un+1 > Un.
Comme.la fonction f est croissante sur [0,1]==>
Un+2 > Un+1: donc (Un) est croissante pour tout n>=2.
De plus (Un) est majorée par 1: (Un) est donc ......
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » jeu. 4 mars 2021 19:12

Bonjour,
je viens de modérer un message d'invité qui propose une méthode par récurrence.
Dans ma méthode, on considère pour un rang \(n\) donné, la solution \(U_n\) du problème : on a alors \((U_n)^n+U_n-1\) donc \(U_n-1=-(U_n)^n\)
En évaluant ensuite \(f_{n+1}(U_n)=(U_n)^{n+1}+\underbrace{U_n-1}_{=-(U_n)^n}=(U_n)^{n+1}-(U_n)^n\). Je te laisse mettre en facteur pour étudier le signe de cette expression. Cela te donnera la position de \(U_n\) vis-à-vis de \(U_{n+1}\) qui est la valeur où \(f_ {n+1}\) s'annule.
Je te laisse choisir ce qui te semble le plus simple pour toi.
Bonne continuation
Invité

Re: limite d'une suite

Message par Invité » sam. 6 mars 2021 10:07

sos-math(21) a écrit :
jeu. 4 mars 2021 19:12
Bonjour,
je viens de modérer un message d'invité qui propose une méthode par récurrence.
Dans ma méthode, on considère pour un rang \(n\) donné, la solution \(U_n\) du problème : on a alors \((U_n)^n+U_n-1\) donc \(U_n-1=-(U_n)^n\)
En évaluant ensuite \(f_{n+1}(U_n)=(U_n)^{n+1}+\underbrace{U_n-1}_{=-(U_n)^n}=(U_n)^{n+1}-(U_n)^n\). Je te laisse mettre en facteur pour étudier le signe de cette expression. Cela te donnera la position de \(U_n\) vis-à-vis de \(U_{n+1}\) qui est la valeur où \(f_ {n+1}\) s'annule.

Je ne trouve pas le moyen pour introduire \(U_{n+1}\) , d'accord \(f_{n+1}=(U_{n})^{n}(U_{n}-1)\) et après ? comment faire apparaître \(U_{n+1}\) pour ensuite le comparer avec \(U_{n}\) ?
Autre question SVP; je n'ai pas compris pourquoi vous voulez évaluer \(f_{n+1}(U_{n})\) alors que d'après le principe de récurrence c'est plutôt \(f_{n+1}(U_{n+1})\) qu'il faut écrire ( je pense) ? parce que si on suppose la fonction \(f:U_{n} \mapsto (U_{n})^{n}+U_{n}-1\) donc si on utilise le principe de récurrence on devrait remplacer tout "n" par "n+1" n'est ce pas ? donc pour ce qui est de la fonction \(f_{n+1}\) elle devrait être définie pour tout \(U_{n+1}\in [0;1]\) et non pas pour \(U_{n}\in [0;1]\) d'après bien sûr le principe de récurrence, on aura donc à faire avec l'expression suivante qu'il faudrait évaluer \(f:U_{n+1} \mapsto (U_{n+1})^{n+1}+U_{n+1}-1\) . Corrigez moi si je me trompe SVP
Merci infiniment pour votre précieuse aide
sos-math(21)
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » sam. 6 mars 2021 10:18

Bonjour,
je n'utilise pas le principe de récurrence, je me sers seulement de la définition du nombre \(U_n\) qui est l'unique racine de \(f_n\) et qui partage les images de \(f_n\) en deux intervalles :
  • \(x\) appartient à \([0\,;\,U_n[\) si et seulement si \(f_n(x)<0\) ;
  • \(x\) appartient à \(]U_n\,;\,1]\) si et seulement si \(f_n(x)>0\) ;
Cette propriété est vraie pour entier \(n\) donc en particulier si on considère \(n+1\) :
  • \(x\) appartient à \([0\,;\,U_{n+1}[\) si et seulement si \(f_{n+1}(x)<0\) ;
  • \(x\) appartient à \(]U_{n+1}\,;\,1]\) si et seulement si \(f_{n+1}(x)>0\) ;
Une fois que j'ai cette information, je cherche à savoir comment se positionne \(U_{n}\) vis-à-vis de \(U_{n+1}\) donc je calcule l'image de \(U_n\) par \(f_{n+1}\) :
\(f_{n+1}(U_n)=U_n^{n+1}+U_n-1\) or on sait que \(f_n(U_n)=0\) ce qui signifie que \(U_n^n+U_n-1\) donc \(U_n-1=-Un^n\) donc
\(f_{n+1}(U_n)=U_n^{n+1}-U_n^n=U_n^n(U_n-1)\). Comme \(U_n\in ]0\,;\,1[\), on a \(U_n-1<0\) donc \(f_{n+1}(U_n)<0\).
Par rapport à la partition que j'avais établie auparavant, j'en déduis que \(U_n\) doit se situer avant la racine de \(f_{n+1}\) car son image est négative.
Finalement \(U_n<U_{n+1}\), ce qui montre bien que la suite \((U_n)\) est croissante.
Après, si tu veux utiliser la récurrence, tu fais comme tu veux, mais ce raisonnement que je viens de faire, tu seras obligé(e) de le mettre en œuvre sur le premier rang, comme l'a proposé un visiteur dont j'ai modéré le message. Il faudra alors reprendre sa proposition de rédaction.
Bonne continuation
Invité

Re: limite d'une suite

Message par Invité » sam. 6 mars 2021 10:48

sos-math(21) a écrit :
sam. 6 mars 2021 10:18
Bonjour,
je n'utilise pas le principe de récurrence, je me sers seulement de la définition du nombre \(U_n\) qui est l'unique racine de \(f_n\) et qui partage les images de \(f_n\) en deux intervalles :
  • \(x\) appartient à \([0\,;\,U_n[\) si et seulement si \(f_n(x)<0\) ;
  • \(x\) appartient à \(]U_n\,;\,1]\) si et seulement si \(f_n(x)>0\) ;
Cette propriété est vraie pour entier \(n\) donc en particulier si on considère \(n+1\) :
  • \(x\) appartient à \([0\,;\,U_{n+1}[\) si et seulement si \(f_{n+1}(x)<0\) ;
  • \(x\) appartient à \(]U_{n+1}\,;\,1]\) si et seulement si \(f_{n+1}(x)>0\) ;
Une fois que j'ai cette information, je cherche à savoir comment se positionne \(U_{n}\) vis-à-vis de \(U_{n+1}\) donc je calcule l'image de \(U_n\) par \(f_{n+1}\) :
\(f_{n+1}(U_n)=U_n^{n+1}+U_n-1\) or on sait que \(f_n(U_n)=0\) ce qui signifie que \(U_n^n+U_n-1\) donc \(U_n-1=-Un^n\) donc
\(f_{n+1}(U_n)=U_n^{n+1}-U_n^n=U_n^n(U_n-1)\). Comme \(U_n\in ]0\,;\,1[\), on a \(U_n-1<0\) donc \(f_{n+1}(U_n)<0\).
Par rapport à la partition que j'avais établie auparavant, j'en déduis que \(U_n\) doit se situer avant la racine de \(f_{n+1}\) car son image est négative.
Finalement \(U_n<U_{n+1}\), ce qui montre bien que la suite \((U_n)\) est croissante.
Après, si tu veux utiliser la récurrence, tu fais comme tu veux, mais ce raisonnement que je viens de faire, tu seras obligé(e) de le mettre en œuvre sur le premier rang, comme l'a proposé un visiteur dont j'ai modéré le message. Il faudra alors reprendre sa proposition de rédaction.
Bonne continuation
WOW c'est très joli, une démonstration remarquable
Merci professeur
sos-math(21)
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » sam. 6 mars 2021 10:51

Bonjour,
je pense qu'on a fait le tour de la question.
Je te laisse rédiger ta réponse en prenant le raisonnement de ton choix.
Bonne continuation
Invité

Re: limite d'une suite

Message par Invité » sam. 6 mars 2021 11:02

Invité a écrit :
jeu. 4 mars 2021 18:26

Ou encore, calculer U2 = (-1+sqrt(5))/2
Poser U3= a×U2 avec a>0
Injecter U3 dans l'equation
En déduire que a>1: cela signifie que U3>U2
Puis supposer que Un+1 > Un.
Comme.la fonction f est croissante sur [0,1]==>
Un+2 > Un+1: donc (Un) est croissante pour tout n>=2.
De plus (Un) est majorée par 1: (Un) est donc ......
Merci infiniment professeur pour cette jolie et remarquable preuve
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » sam. 6 mars 2021 11:04

Bonjour,
Je pense qu'on a fait le tour de la question et les derniers messages ne font plus avancer le sujet.
Je verrouille donc celui-ci.
Bonne continuation
Invité

limite d'une suite (suite)

Message par Invité » sam. 6 mars 2021 11:47

Bonjour , j'étais entrain de rédiger une dernière question sur le sujet " limite d'une suite" avant de persuader que le sujet en question est verrouillé, voici ma question svp
Il reste la dernière question de l'exercice de déterminer la limite de la suite \((U_{n})\); d'accord on sait qu'elle est convergente et que c'est clair que la limite vaut 1 mais comment la démontrer SVP ? autrement dit comment calculer \(\lim_{}U_{n}\) ?
sos-math(21)
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Re: limite d'une suite

Message par sos-math(21) » sam. 6 mars 2021 12:14

Bonjour,
j'avais effectivement verrouillé le sujet.
Pour la convergence vers 1, tu peux t'appuyer sur la définition de \(U_n\).
Tu sais que \(Un^n+U_n-1\) donc \(1-U_n=U_n^n\) pour tout entier \(n\).
Tu sais aussi que ta suite est croissante et majorée par 1 donc elle converge vers un réel \(\ell\in]0\,;\,1]\).
Maintenant la suite est délicate, je te propose de faire une démonstration par l'absurde.
Supposons que que \(\ell\neq 1\), c'est-à-dire \(0<\ell<1\). Alors, on a pour tout entier \(n\) :
\(0<U_n\leqslant \ell\)
soit en passant à la puissance \(n\), on a :
\(0<U_n^n\leqslant \ell^n\)
Je te laisse poursuivre pour voir où est la contradiction.
Bonne continuation
Invité

Re: limite d'une suite (suite)

Message par Invité » sam. 6 mars 2021 16:54

Invité a écrit :
sam. 6 mars 2021 11:47
Bonjour , j'étais entrain de rédiger une dernière question sur le sujet " limite d'une suite" avant de persuader que le sujet en question est verrouillé, voici ma question svp
Il reste la dernière question de l'exercice de déterminer la limite de la suite \((U_{n})\); d'accord on sait qu'elle est convergente et que c'est clair que la limite vaut 1 mais comment la démontrer SVP ? autrement dit comment calculer \(\lim_{}U_{n}\) ?
Bonjour,
1 n'est pas la limite de (Un) car f(l=1)--->1 au lieu de 0.
Verrouillé