Résolution d'équation

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sos-math(21)
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Re: Résolution d'équation

Message par sos-math(21) » mar. 2 mars 2021 21:30

Bonjour Lola,
oui c'est cela. Tu peux poursuivre le raisonnement en regardant les conséquences du signe de \(\Delta_a\) sur la résolution de ton équation \(E_a\).
Bon courage
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 21:54

Si a est positif, alors les solutions se trouvent sur l'intervalle \(]-1;1[\)
Si a est négatif, alors les solutions se trouvent sur les intervalles \(]-\infty ;-1[\cup]1;+\infty[\)
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Re: Résolution d'équation

Message par sos-math(21) » mar. 2 mars 2021 22:04

Bonsoir,
je ne comprends pas trop ton dernier message. Il faut que tu exploites ce que l'on vient de faire pour répondre à la question :
En déduire le nombre et la nature des solutions de l'équation \(E_a\) en fonction des valeurs de a
Le tableau de signe que tu as établi donne le signe du discriminant \(\Delta_a\) et celui-ci a un impact sur le nombre de solutions de \(z^2-4z+4a^2\).
  • si \(a\in]-\infty\,;\,-1[\cup]1\,;\,+\infty[\),on a \(\Delta_a<0\) donc l'équation \(z^2-4z+4a^2\) a ... solution(s) et \(E_a\) a .... solutions qui sont....
  • si \(a=1\), ou \(a=-1\), alors \(\Delta_a=0\) donc l'équation \(z^2-4z+4a^2\) a ... solution(s) et \(E_a\) a .... solutions.
  • si \(a\in]-1\,;\,1[\), alors \(\Delta_a>0\) donc l'équation \(z^2-4z+4a^2\) a ... solution(s) et \(E_a\) a .... solutions.
Je te laisse compléter.
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 22:20

Si \(a\in ]-\infty ;-1[\cup ]1;+\infty[\), on a \(\Delta _{a}< 0\) donc l'équation \(z^2-4z+4a^2\) a 2 solutions et \(E_{a}\) a 2 solutions aussi qui sont complexes.
Si \(a=1\) ou \(a=-1\), alors \(\Delta _{a}= 0\) donc l'équation \(z^2-4z+4a^2\) a 1 solution et \(E_{a}\) a 3 solutions réelles.
Si \(a\in ]-1;1[\), alors \(\Delta _{a}> 0\) donc l'équation \(z^2-4z+4a^2\) a 2 solutions et \(E_{a}\) a 3 solutions réelles.

Je ne suis pas sûre du tout
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Re: Résolution d'équation

Message par sos-math(21) » mar. 2 mars 2021 22:38

Bonjour,
il faut que tu répondes de manière précise sur la nature des solutions.
Sachant que l'équation \(z^2-a^2=0\) a toujours deux solutions réelles (qui sont \(a\) et \(-a\)).
Si \(a\in ]-\infty ;-1[\cup ]1;+\infty[\), on a \(\Delta _{a}< 0\) donc l'équation \(z^2-4z+4a^2\) a 2 solutions complexes conjuguées (et non réelles) et \(E_{a}\) a donc en réunissant les solutions des deux équations : 2 solutions complexes conjuguées et deux solutions réelles.
Si \(a=-1\) ou \(a=1\), alors on a \(\Delta_a=0\), on a ce que tu as dit : 3 solutions réelles (qui sont -1,1 et 2).
Si \(a\in]-1\,;\,1[\), alors \(\Delta_a>0\), alors l'équation \(z^2-4z+4a^2\) a 2 solutions réelles distinctes donc l'équation \(E_a\) a 4 solutions réelles distinctes, sauf si \(a=0\), car dans ce cas, il y a seulement 2 solutions distinctes : 0 et 4 (question 1).
Je te laisse consulter ce fichier GeoGebra afin de vérifier cette conclusion.
Il te restera à établir l'expression des racines manquantes en fonction de \(a\).

Téléchargez la figure ici.

Bonne conclusion
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 22:52

J'ai mieux compris grâce à vos explications merci beaucoup. :)
Quand vous dites racines manquantes vous parlez de la question 5.d ?
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Re: Résolution d'équation

Message par sos-math(21) » mar. 2 mars 2021 22:56

Bonjour,
oui, je parle de la dernière question qui demande l'expression des racines complexes lorsque \(|a|>1\) (cas n°1).
Ce sont deux racines complexes conjuguées qui peuvent s'exprimer en fonction de \(a\).
Il te reste cela, il me semble.
Bonne continuation
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 23:09

Ah oui je me disais peut-être qu'il restait autre chose à faire dans la 5.c j'ai eu peur :')
5.d:
On doit résoudre \(z^2-4z+4a^2=0\)
\(z_{1}=\frac{-b-i\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(= \frac{4-i\sqrt{16(1-a^2)}}{2}\)

Et \(z_{2}= \bar{z_{1}}= \frac{4+i\sqrt{16(1-a^2)}}{2}\)
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Re: Résolution d'équation

Message par sos-math(21) » mer. 3 mars 2021 05:53

Bonjour,
Oui c’est cela et tu peux encore améliorer l’écriture de ces racines en extrayant le 16 de la racine carrée, ce qui te permettra d’appliquer la division par 2 aux deux termes de ton numérateur et fera ainsi disparaître le quotient.
Bonne simplification
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mer. 3 mars 2021 10:13

Bonjour,

\(z_{1}= \frac{4-i*4(1-a))}{2}= 2-2i(1-a)\)
\(z_{2}= \frac{4+i*4(1-a)}{2}= 2+2i(1-a)\)
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Re: Résolution d'équation

Message par sos-math(21) » mer. 3 mars 2021 10:16

Bonjour,
Attention tu peux extraire le 16 de la racine carrée mais elle reste appliquée à \(1-a^2\).
Donc il doit rester une racine carrée dans tes expressions.
Bon calcul
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mer. 3 mars 2021 10:22

Ah oui le ^2 je l'ai mis en dehors des parenthèses..
Du coup \(z_{1}= 2-2\sqrt{1-a^2}*i\)
Et \(z_{2}= 2+2\sqrt{1-a^2}*i\)
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Re: Résolution d'équation

Message par sos-math(21) » mer. 3 mars 2021 12:14

Bonjour,
oui c'est cela.
On a l'habitude d'écrire \(z_1=2-2i\sqrt{1-a^2}\) et \(z_2=2+2i\sqrt{1-a^2}\) : on met le \(i\) devant la racine carrée afin d'éviter la confusion du \(i\) sous la racine carrée ou à l'extérieur. Cette remarque est valable pour tout facteur avec une racine carrée : \(2\sqrt{8}\) plutôt que \(\sqrt{2}\times 8\).
On est rendu au bout de l'exercice, non ?
Vérifie bien chacune des réponses pour savoir si tu as bien répondu à la demande.
Bonne continuation
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mer. 3 mars 2021 20:16

Super merci énormément !
Pour la dernière il fallait juste donner les complexes comme solutions alors ? On ne doit pas trouver les 2 solutions réelles en résolvant \((z-a^2)=0\) ?

Sinon j'ai relu l'exercice je pense que c'est tout bon :)
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Re: Résolution d'équation

Message par sos-math(21) » mer. 3 mars 2021 20:49

Bonjour,
on te demande de donner les solutions donc il faut effectivement donner toutes les solutions : je m'étais concentré sur les solutions complexes car les solution réelles avaient déjà été trouvées ( \(a\) et \(-a\).
Pour ton travail de synthèse, il faut donc que tu cites à chaque fois le nombre de tes solutions et dans le cas où \(|a|>1\), que tu détailles leur expression : c'est ce que je comprends de ton énoncé.
Bonne conclusion
Verrouillé