Résolution d'équation

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Sacha

Résolution d'équation

Message par Sacha » mar. 2 mars 2021 13:47

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire un exercice de maths expertes, je bloque totalement ... J'ai besoin de votre aide svp.
L'énoncé de l'exercice:

On considère un réel \(a\) et on note \(E_{a}\) l'équation : \(z^4-4z^3+3a^2z^2+4a^2z-4a^4=0\)
On notera \(S_{a}\) l'ensemble des solutions de l'équation \(E_{a}\)

1) Combien l'équation \(E_{a}\) peut-elle avoir de solutions ?
2) On fixe \(a=0\). Résoudre l'équation \(E_{0}\)
3) On fixe \(a=1\). Développer \((z^2-1)(z^2-4z+4)\) et en déduire la résolution de \(E_{1}\)
4) Sans aucun calcul, déterminer l'ensemble \(S_{-1}\) des solutions de \(E_{-1}\)
5) On note \(P_{a}(z)\) le polynôme : \(P_{a}(z)=z^4-4z^3+3a^2z^2+4a^2z-4a^4\)
a. Montrer que pour tout complexe \(z\) et tout réel \(a\) on a : \(P_{a}(z)= (z^2-a^2)(z^2-4z+4a^2)\)
b. Calculer le discriminant \(\Delta _{a}\) du trinôme \(z^2-4z+4a^2\) et étudier son signe en fonction des valeurs de \(a\)
c. En déduire le nombre et la nature des solutions de l'équation \(E_{a}\) en fonction des valeurs de \(a\)
d. Exprimer en fonction de \(a\) les valeurs des solutions de \(E_{a}\) dans le cas où \(|a|> 1\)

La 1) : C'est un polynôme du 4ème degré à 4 inconnues, donc il y a 4 solutions possibles.
Je suis bloquée à la 2).. J'ai juste trouvé que \(E_{0} = z^4-4z^3+3*0^2*z^2+4*0^2*z-4*0^4=z^4-4z^3=0\)

Merci d'avance !
sos-math(21)
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Re: Résolution d'équation

Message par sos-math(21) » mar. 2 mars 2021 15:05

Bonjour,
comme le polynôme du membre de gauche est de degré 4, ton équation aura au maximum 4 solutions distinctes car le degré d'une équation polynomiale est égal au nombre de ses racines (éventuellement complexes), comptées avec leur multiplicité.
Pour \(a=0\), tu as \(z^4-4z^3=0\) qui donne par factorisation\(z^3(z-4)=0\) la résolution de cette équation produit nul donne \(z=0\) et \(z=4\).
Pour la question 3), c'est le même principe, on te propose de vérifier une factorisation et de traiter une équation produit nul : il te faudra reconnaitre des identités remarquables ou utiliser le discriminant.
Voilà pour le début.
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 18:23

Merci pour votre réponse.
Pour la 3:
\((z^2-1)(z^2-4z+4)= z^4-4z^3+4z^2-z^2+4z-4= z^4-4z^3+3z^2+4z-4\)
=\(E_{1}\)

\(z^2-1=0\)
<=> \(z^2=1\)
Donc \(z=1\) ou \(z=-1\)

\(z^2-4z+4=0\)
<=> \(\Delta = (-4)^2-4*1*4= 16-16 = 0\)
Donc \(z= \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2\)

Les solutions sont : 1; -1; 2. Il n'en manque pas une ? Je crois que je me suis trompée quelque part..
SoS-Math(33)
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Re: Résolution d'équation

Message par SoS-Math(33) » mar. 2 mars 2021 18:51

Bonsoir Lola,
ce que tu as fait est correct, la solution z=2 est une solution dite double (car \(\Delta\) = 0) c'est pour ça que tu as l'impression qu'il en manque une.
SoS-math
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 19:01

Ah d'accord merci !
Pour la question 4, c'est les mêmes solutions je pense, car si \(a=-1\), alors \(a^2=1\) et \(a^4=1\). Donc cela revient à résoudre \(E_{1}\)
Je ne sais pas si j'ai bien justifié.
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Re: Résolution d'équation

Message par SoS-Math(33) » mar. 2 mars 2021 19:05

Oui c'est bien ça.
\(P_{-1}(z)=P_1(z)\)
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 19:13

Pour la 5.a :
\((z^2-a^2)(z^2-4z+4a^2)= z^4-4z^3+4a^2z^2-a^2z^2+4a^2z-4a^4 = z^4-4z^3+3a^2z^2+4a^2z-4a^4= P_{a}(z)\)

Pour la b dois-je calculer le discriminant comme d'habitude en sachant qu'il y a un \(a^2\) à la fin de l'équation ?
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Re: Résolution d'équation

Message par SoS-Math(33) » mar. 2 mars 2021 19:22

Oui tu calcules le discriminant normalement.
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 19:25

\(z^2-4z+4a^2=0\)
\(\Delta _{a}= (-4)^2-4*1*4= 16-16= 0\)
<=> \(a= \frac{-b}{2a}= 2\)
Après je suis bloquée ...
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Re: Résolution d'équation

Message par SoS-Math(33) » mar. 2 mars 2021 19:31

Non ce n'est pas ça, il te faut prendre en compte la présence du \(a^2\)
\(z^2-4z+4a^2=0\)
\(\Delta _{a}= (-4)^2-4 \times 1\times 4a^2= 16-16a^2 = 16(1-a^2)\)
Il faut maintenant étudier le signe de \(\Delta_a\) en fonction de a
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 19:35

Ah oui merci!
Pour le signe c'est toujours positif à cause du \(a^2\) tant que \(a> 1\) ? Et \(16> 0\) ?
sos-math(21)
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Re: Résolution d'équation

Message par sos-math(21) » mar. 2 mars 2021 19:43

Bonjour,
il faut que tu étudies le signe de l'expression du second degré \( \Delta_a=16(1-a^2)\) en fonction de \(a\).
Son signe n'est pas constant et dépend des valeurs de \(a\) : \(a\) est appelé un paramètre de ton équation.
Il faut donc faire une étude de cas :
  • Pour quelles valeurs de \(a\), a-t-on \(\Delta_a>0\)? Conséquences sur l'équation de départ ?
  • Pour quelles valeurs de \(a\), a-t-on \(\Delta_a=0\) ? Conséquences sur l'équation de départ ?
  • Pour quelles valeurs de \(a\), a-t-on \(\Delta_a<0\) ? Conséquences sur l'équation de départ ?
Nous te laissons réfléchir à cela.
À bientôt
Invité

Re: Résolution d'équation

Message par Invité » mar. 2 mars 2021 20:30

Lola a écrit :
mar. 2 mars 2021 19:35
Ah oui merci!
Pour le signe c'est toujours positif à cause du \(a^2\) tant que \(a> 1\) ? Et \(16> 0\) ?
Pour déterminer le signe de delta =16(1-a^2), COMMENCEpar déterminer les valeurs de a telles que delta=0.
Tu trouves a=-1 et a=1.
Ensuite, dresse un tableau avec ces valeurs
Enfin, déduire le signe de delta.
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Re: Résolution d'équation

Message par sos-math(21) » mar. 2 mars 2021 20:45

Bonjour,
comme le propose Invité, tu peux faire un tableau de signe après avoir factorisé \(\Delta_a=16(1-a)(1+a)\) :
capture_tableau_signe.PNG
Bonne étude.
Lola

Re: Résolution d'équation

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 21:09

Ah oui je ne pense jamais à factoriser les expressions pour que ça devienne un produit nul, plus facile à résoudre dans une équation.
Merci à tous pour vos réponses !

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Signe de 1+a : - + +
Signe de 16(1-a)(1+a) : - + -
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