Nombres premiers

Retrouver tous les sujets résolus.
Verrouillé
Lola

Nombres premiers

Message par Lola » lun. 1 mars 2021 12:24

Bonsoir à tous !
J'ai un devoir en Maths expertes où je bloque totalement... Pourriez-vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé:
Soit \(A(n)= n^8+n^4+1\) , où n est un entier naturel.
On souhaite écrire \(A(n)\) comme produit de deux nombres toujours premiers entre eux.

1) Vérifier que \(A(n)= (n^4+n^2+1)(n^4-n^2+1)\)
2) Justifier que pour tout naturel n, les nombres \(n^4+n^2+1\) et \(n^4-n^2+1\) sont impairs
3) Prouver que si d est un diviseur commun à \(n^4+n^2+1\) et \(n^4-n^2+1\), alors d divise \(2n^2\) et \(2n^4 +2\)
4) Montrer que \(n^4+1\) et \(n^2\) sont premiers entre eux
5) En déduire la valeur de \(PGCD (2n^2,2n^4+2)\)
6) Déduire des questions précédentes que \(n^4+n^2+1\) et
\(n^4-n^2+1\) sont premiers entre eux


Pour la 1) :
\(A(n)= (n^4+n^2+1)(n^4-n^2+1)\)
= \(n^8-n^6+n^4+n^6-n^4+n^2+n^4-n^2+1\)
=\(n^8+n^4+1\)

Je ne sais pas comment faire pour la 2... Dois-je faire avec 2k et 2k+1 ?
sos-math(21)
Messages : 8777
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Nombres premiers

Message par sos-math(21) » lun. 1 mars 2021 15:41

Bonjour,
pour la question 2),
si tu écris \(n^4+n^2+1=n^2(n^2+1)+1\), alors le nombre \(n^2(n^2+1)\) est un produit de deux entiers consécutifs donc un des facteurs est pair et l'autre est impair ; ainsi leur produit est pair car il contient le facteur 2 venant du facteur pair.
Ce sera la même chose avec \(n^4-n^2+1=n^2(n^2-1)+1\).
Bonne continuation
Lola

Re: Nombres premiers

Message par Lola » lun. 1 mars 2021 17:53

D'accord merci ! Si j'ai compris c'est grâce au facteur 2 du \(n^2\) que le produit est pair ? Et le +1 ne joue pas ?
Pour la 3) j'ai réussi une partie je pense:
\(d|n^4+n^2+1\) et \(d|n^4-n^2+1\). d divise donc une combinaison linéaire de \(n^4+n^2+1\) et \(n^4-n^2+1\)
Donc: \(d|(n^4+n^2+1)-(n^4-n^2+1)\)
\(d|n^4+n^2+1-n^4+n^2-1\)
\(d|2n^2\)
Comment dois-je procéder pour \(2n^4+2\) ?
sos-math(21)
Messages : 8777
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Nombres premiers

Message par sos-math(21) » lun. 1 mars 2021 18:03

Bonjour,
le facteur 2 vient de \(n^2\) ou \(n^2+1\) : on ne sait pas lequel des deux est pair mais on est sûr que l'un des deux est pair car ce sont deux entiers consécutifs. Même chose pour \(n^2-1\) et \(n^2\).
Pour la 3) tu procèdes de la même manière mais en faisant la somme : si \(d\) est un diviseur commun à \(n^4+n^2+1\) et à \(n^4-n^2+1\) alors il divise leur somme : \(d\mid (n^4+n^2+1+n^4-n^2+1)\) donc \(d\mid 2n^4+2\).
Bonne continuation
Lola

Re: Nombres premiers

Message par Lola » lun. 1 mars 2021 18:48

Ah oui effectivement fallait juste faire la somme... Merci !
Pour la 4), j'ai fait:
D'après le théorème de Bézout, deux nombres a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers u et v tels que : \(au+bv=1\)
Ici, \(a= n^4+1\) et \(b=n^2\)
Le but est de trouver deux entiers u et v tels que: \(u(n^4+1)+v(n^2)=1\)
Donc, par combinaison linéaire: \((n^4+1)-n^2*n^2 = n^4+1-n^4 = 1\)
On en conclut, d'après le théorème de Bézout, que \(n^4+1\) et \(n^2\) sont premiers entre eux.
sos-math(21)
Messages : 8777
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Nombres premiers

Message par sos-math(21) » lun. 1 mars 2021 19:46

Bonjour,
si tu connais l'identité de Bézout, c'est une bonne démarche.
Sinon, tu peux partir, comme dans une question précédente, d'un entier \(d\) diviseur commun à \(n^2\) et \(n^4+1\).
Si \(d\mid n^2\), alors il divise aussi \(n^2\times n^2=n^4\) : en effet si \(d\mid n^2\), il existe un entier \(k\) tel que \(n^2=kd\) ; en élevant au carré on a \(n^4=k^2d^2=d\times (dk^2)\) donc \(d\mid n^4\).
Donc il divise la différence entre \(n^4+1\) et \(n^4\), c'est-à-dire 1, donc \(d=1\).
Bonne conclusion
Lola

Re: Nombres premiers

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 11:57

Pour la 5) :
On sait que \(d|2n^2\) et \(d|2n^4+2\)
d divise donc une combinaison linéaire de \(2n^2\) et \(2n^4+2\)
Ce qui donne : \(d|(2n^4+2)-n^2*2n^2\)
<=> \(d|2n^4+2-2n^4\)
<=> \(d|2\)
On en déduit que soit \(d=1\) ou \(d=2\)
Or on a prouvé dans les questions précédentes que \(n^4+n^2+1\) et \(n^4-n^2+1\) sont impairs, donc par combinaison linéaire \(2n^2\) et \(2n^4+2\) le sont également. 2 est donc exclu et \(PGCD=1\).
sos-math(21)
Messages : 8777
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Nombres premiers

Message par sos-math(21) » mar. 2 mars 2021 12:06

Bonjour Lola,
c'est la bonne démarche.
En fait un diviseur commun \(d\) à \(n^4+n^2+1\) et \(n^4-n^2+1\) est un diviseur commun à \(2n^2\) et \(2n^4+2\) (question 2).
Or on a montré que le pgcd de ces deux nombres était égal à 2 (question 5).
Donc le pgcd de \(n^4+n^2+1\) et \(n^4-n^2+1\) divise 2. Comme ces deux nombres sont impairs, le pgcd de \(n^4+n^2+1\) et \(n^4-n^2+1\) ne peut pas être égal à 2 donc le pgcd de \(n^4+n^2+1\) et \(n^4-n^2+1\) est égal à 1, ce qui signifie que \(n^4+n^2+1\) et \(n^4-n^2+1\) sont premiers entre eux
Bonne continuation.
Lola

Re: Nombres premiers

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 12:15

Merci pour votre explication !
Pour la 6) je ne voyais pas trop comment argumenter. Du coup je justifie avec ce que vous avez dit ?
sos-math(21)
Messages : 8777
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Nombres premiers

Message par sos-math(21) » mar. 2 mars 2021 12:49

Bonjour,
tu peux reprendre mon explication, je pense que cela devrait suffire.
Bonne conclusion
Lola

Re: Nombres premiers

Message par Lola » mar. 2 mars 2021 12:56

Merci beaucoup !
sos-math(21)
Messages : 8777
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Nombres premiers

Message par sos-math(21) » mar. 2 mars 2021 12:57

Bonjour,
je pense qu'on a fait le tour de l'exercice donc je verrouille le sujet.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math
Verrouillé