dérivabilité

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Invité

dérivabilité

Message par Invité » sam. 27 févr. 2021 19:51

SVP pourriez vous m'aider pour cet exercice
Soit la fonction f tel que : \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) et \(f(0)=0\)
Et soit la fonction g définie comme suit : \(g(x)=f(x)sin(\frac{1}{x}) ;x\neq 0\) et \(g(0)=0\)
Montrer que g est dérivable en 0 \(\Leftrightarrow f'(0)=0\)
sos-math(21)
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Re: dérivabilité

Message par sos-math(21) » sam. 27 févr. 2021 21:30

Bonjour,
tu es sûr de ton énoncé, c'est bien une équivalence qu'il faut démontrer ?
Pour commencer, tu peux considérer que \(\left|\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\leqslant 1\)
donc pour tout \(x\neq 0\), on a \(\left|\dfrac{g(x)}{x}\right|=\left|f(x)\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right|\leqslant \left|\dfrac{f(x)}{x}\right|\)
donc on a \(0\leqslant \left|\dfrac{g(x)}{x}\right|\leqslant \left|\dfrac{f(x)}{x}\right|\).
Donc si \(f'(0)=0\), cela signifie que la limite du taux d'accroissement est égale à 0. Or ce taux d'accroissement est égal à \(\dfrac{f(x)}{x}\)
donc on a \(\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=0\).
Donc en faisant tendre \(x\) vers 0 dans l'inégalité précédente, et en utilisant le théorème des gendarmes, on a \(\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)}{x}\) qui existe et qui vaut 0 ainsi \(g\) est dérivable en 0 et \(g'(0)=0\).
Pour faire la réciproque, il faut supposer \(f'(0)\neq 0\) et la contradiction viendra du fait que l'on va trouver une limite en 0 à \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) alors que cette expression n'en a pas.
Je te laisse chercher la suite.
Invité

Re: dérivabilité

Message par Invité » dim. 28 févr. 2021 12:24

Merci
Oui pour l'énoncé c'est écrit une équivalence
D'accord j'ai compris votre démonstration de la 1ere implication à savoir : \(f'(0)=0\Rightarrow g\) est dérivable en 0
Pour l'implication inverse a savoir \(g\) est dérivable en 0 \(\Rightarrow f'(0)=0\) vous voulez la démontrer par l'absurde c'est bien cela ? voila donc mon essai :
supposons donc que si g est dérivable en 0 alors \(f'(0)\neq 0\)
on a \(g\) est dérivable en 0 \(\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}g(x)=l\) tel que \(l\in \mathbb{R}\)
\(\Rightarrow\) \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)sin(\frac{1}{x})}{x}=l\)
\(\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l\)
\(\Rightarrow f'(0)\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l\)
\(\Rightarrow l'\times \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=l\) (tel que \(l'\in \mathbb{R}^{*}\)
\(\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=\frac{l}{l'}\) !!!
c'est impossible puisque \(sin(\frac{1}{x})\) n'admet pas de limite en 0
D'où \(l'=f'(0)=0\) forcément

Voila est ce que c'est juste ? par ce que j'ai un peu de doute car si \(l'=f'(0)=0\) forcément et si \(l\in \mathbb{R}^{*}\) on aura donc \(\lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=\frac{l}{l'}=\) ∞ or la limite de \(sin(\frac{1}{x})\) en 0 n'existe pas et indéterminée et non pas égale à ∞
sos-math(21)
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Re: dérivabilité

Message par sos-math(21) » dim. 28 févr. 2021 13:07

Bonjour,
oui c'est le principe de démonstration par l'absurde que je te proposais.
Il faut donc supposer \(g\) dérivable en 0 et \(f'(0)\neq 0\), ce qui permettra de diviser par \(f'(0)\) et donc donnerait une limite réelle à \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) en 0, par passage à la limite dans l'égalité reliant \(f\) et \(g\).
Ta rédaction me semble correcte.
Bonne continuation
Invité

Re: dérivabilité

Message par Invité » dim. 28 févr. 2021 13:21

D'accord merci beaucoup
Invité a écrit :
dim. 28 févr. 2021 12:24

Voila est ce que c'est juste ? par ce que j'ai un peu de doute car si \(l'=f'(0)=0\) forcément et si \(l\in \mathbb{R}^{*}\) on aura donc \(\lim_{x\rightarrow 0}sin(\frac{1}{x})=\frac{l}{l'}=\) ∞ or la limite de \(sin(\frac{1}{x})\) en 0 n'existe pas et indéterminée et non pas égale à ∞
Que pensez vous de cette remarque SVP ?
sos-math(21)
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Re: dérivabilité

Message par sos-math(21) » lun. 1 mars 2021 07:54

Bonjour,
c'est justement le fait que \(f'(0)=0\) qui annule en quelque sorte le problème de la limite de \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\).
Comme ta fonction sinus est bornée, elle peut faire n'importe quoi en quelque sorte à partir du moment où elle est multipliée par quelque chose qui tend vers 0 et qui va neutraliser son comportement (sans que cela soit une forme indéterminée pour autant).
Donc ta remarque ne peut se produire puisqu'on ne peut pas aller jusqu'au quotient \(\dfrac{\ell}{\ell'}\) car on ne fera pas le quotient, celui-ci n'étant pas défini partout : \(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) s'annule sur les \(\dfrac{1}{2n\pi}\) \(n\neq 0\) qui sont "nombreux" au voisinage de 0 : en gros on n'a pas le droit de diviser par \(\dfrac{f(x)}{x}\) car celui-ci peut être nul.
Je ne sais pas si j'ai été clair car c'est une situation un peu délicate à expliquer...
Bonne continuation
Invité

Re: dérivabilité

Message par Invité » lun. 1 mars 2021 19:44

Oui c'est très clair je vous remercie infiniment
sos-math(21)
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Re: dérivabilité

Message par sos-math(21) » lun. 1 mars 2021 19:52

Bonjour,
nous espérons avoir répondu à ton attente.
Je verrouille le sujet.
À bientôt sur sos-math
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