dm produit scalaire et orthogonalité

Retrouver tous les sujets résolus.
Verrouillé
Bastoune66

dm produit scalaire et orthogonalité

Message par Bastoune66 » sam. 27 févr. 2021 00:13

Bonsoir,
Voilà mon DM de maths dont je n'ai rien compris à l'exercice 2.
On se place dans un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗ ; 𝑘⃗) de l’espace et on considère les cinq points :
𝐴 (1 ; 1 ; 4) 𝐵 (4 ; 2 ; 5) 𝐶 (3 ; 0 ; −2) 𝐼 (1 ; 9 ; 0) 𝐽 (1 ; 4 ; 2)
On note :
𝒫 le plan passant par les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶
𝒟 la droite passant par le point 𝐽 et de vecteur directeur 𝑢⃗ (1;1;3)
𝒮 la sphère* de de centre 𝐼 et de rayon 6
*On rappelle que la sphère de centre Ω et de rayon 𝑟 > 0 désigne l’ensemble des points 𝑀 de l’espace
tels que Ω𝑀 = 𝑟

Questions :
1) Position relative de 𝒟 et 𝒫
a) Justifier que le vecteur 𝑛⃗ (1;−4;1) est normal au plan 𝒫
b) Déterminer une équation cartésienne du plan 𝒫
c) Calculer 𝑛⃗ . 𝑢⃗, puis en déduire la position relative de 𝒟 et 𝒫

2) Position relative de 𝒫 et 𝒮
a) Montrer que la droite Δ passant par 𝐼 et orthogonale au plan 𝒫 coupe ce plan au point 𝐻 (3 ; 1 ; 2)
b) Calculer la distance 𝐼𝐻 (on donnera la valeur exacte sous la forme la plus simple possible)
c) Justifier que pour tout point 𝑀 du plan 𝒫 on a 𝐼𝑀 ≥ 𝐼𝐻
d) Le plan 𝒫 coupe-t-il la sphère 𝒮 ? Justifier

3) Position relative de 𝒟 et 𝒮
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite 𝒟
b) Déterminer les coordonnées du point 𝐾 projeté orthogonal de 𝐼 sur la droite 𝒟
c) Montrer que la droite 𝒟 coupe la sphère 𝒮 en deux points distincts (dont on ne cherchera pas à
déterminer les coordonnées)

Merci d'avance
Bonne soirée
sos-math(21)
Messages : 8778
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: dm produit scalaire et orthogonalité

Message par sos-math(21) » sam. 27 févr. 2021 07:35

Bonjour,
tu as obtenu une équation de ton plan \(\mathscr{P}\) à la première question et tu as dû trouver : \(x-4y+z-1=0\).
Ensuite ta droite \(\Delta\) est la droite perpendiculaire à \(\mathscr{P}\) passant par \(I\), donc elle admet pour vecteur directeur le vecteur \(\overrightarrow{n}\) normal à \(\mathscr{P}\).
Cela te permet d'établir une représentation paramétrique de cette droite : un point \(M(x;y;z)\) appartient à \(\Delta\) si et seulement si il existe un réel \(t\in\mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{IM}=t\overrightarrow{n}\).
Cela va te permettre d'écrire les coordonnées de \(M\) en fonction de \(t\) (représentation paramétrique) :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}x&=&\ldots\\y&=&\ldots\\z&=&\ldots\end{array}\right.\)
Il te restera ensuite à trouver \(t\) pour que le point \(M\) appartienne à \(\mathscr{P}\).
Je te laisse déjà faire cela.
Bons calculs
Bastien

Re: dm produit scalaire et orthogonalité

Message par Bastien » sam. 27 févr. 2021 23:41

Bonsoir,
J’ai calculé les deux vecteur AB(3,1,1) et AC(2,-1,-6).
J’ai ensuite fait le produit scalaire ou AB est orthogonal mais AC ne l’est pas je trouve 4 est-ce normal ?
J’ai donc fait la b, est j’ai trouvé x-4y+z-1=0
Pour la c, j’ai calculé n.u qui est nul. Les deux vecteurs sont orthogonaux. Par contre j’ai remplacé les coordonnées de J dans mon équation cartésienne du plan et je trouve -14 donc je pense que J n’est pas dans le plan de P.
Dites moi si c’est ça
Je ne sais pas quoi répondre à la 1)c
Je n’ai pas compris ce que vous indiquer pour la question 2.
Vous allez un peux trop vite pour moi pouvez vous détailler question par question (2a, 2b, 2c, 2d......)
Merci d’avance
Bonne soirée
Bastien

Re: dm produit scalaire et orthogonalité

Message par Bastien » dim. 28 févr. 2021 00:09

Bonsoir,
J’ai calculé les deux vecteur AB(3,1,1) et AC(2,-1,-6).
J’ai ensuite fait le produit scalaire ou AB est orthogonal mais AC ne l’est pas je trouve 4 est-ce normal ?
J’ai donc fait la b, est j’ai trouvé x-4y+z-1=0
Pour la c, j’ai calculé n.u qui est nul. Les deux vecteurs sont orthogonaux. Par contre j’ai remplacé les coordonnées de J dans mon équation cartésienne du plan et je trouve -14 donc je pense que J n’est pas dans le plan de P.
Dites moi si c’est ça
Je ne sais pas quoi répondre à la 1)c
Je n’ai pas compris ce que vous indiquer pour la question 2.
Vous allez un peux trop vite pour moi pouvez vous détailler question par question (2a, 2b, 2c, 2d......)
Merci d’avance
Bonne soirée
sos-math(21)
Messages : 8778
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: dm produit scalaire et orthogonalité

Message par sos-math(21) » dim. 28 févr. 2021 08:38

Bonjour,
tu m'avais demandé des explications pour la question 2
Voilà mon DM de maths dont je n'ai rien compris à l'exercice 2.
donc je t'ai répondu pour la question 2.
Pour la question 1)c), si tu trouves que ton produit scalaire \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}\) est différent de 0, cela signifie que la droite et le plan sont sécants (tu peux consulter le très bon cours de maths et tiques page 7 : https://www.maths-et-tiques.fr/telech/EspaceTS3.pdf).
Pour la question 2, est-ce que tu connais la représentation paramétrique d'une droite ?
Mon explication ne sert qu'à la première question :
- établir une équation paramétrique de \(\Delta\) : chaque point \(M\) de la droite \(\Delta\) est représenté par un système d'équations dépendant d'un paramètre \(t\in\mathbb{R}\)
- trouver la valeur du paramètre \(t\) pour que le point \(M\) de la droite \(\Delta\) appartiennent à \(\mathscr{P}\) : ses coordonnées paramétriques vérifient l'équation de ce plan, cela fait une équation d'inconnue \(t\) que l'on résout
- retrouver les coordonnées du point d'intersection, noté \(H\), en remplaçant \(t\) dans les équations paramétriques de la droite \(\Delta\)
Je te laisse reprendre point par point la démarche en suivant ce message et le précédent.
Bon courage
Bastoune66

Re: dm produit scalaire et orthogonalité

Message par Bastoune66 » lun. 1 mars 2021 00:13

Bonsoir,
J'ai finis mon exo par contre je sais pas quoi répondre à la 1)c et la 3)c.
Pour la 1)c j'ai trouvé que le vecteur était orthogonal au plan et que J n'appartenait pas au plan. Mais je ne sais pas quoi conclure.
Pour la 1)d j'ai trouvé que IK = 5,37 mais je ne sais pas quoi conclure aussi.
Merci d'avance
sos-math(21)
Messages : 8778
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: dm produit scalaire et orthogonalité

Message par sos-math(21) » lun. 1 mars 2021 06:23

Bonjour,
Pour la 1c je t’ai déjà répondu : tu as montré que ta droite et ton plan sont sécants ..... la position relative d’une droite et d’un plan ne connaît que deux possibilités : soit la droite est parallèle au plan soit elle est sécante avec le plan.
Pour la 3c tu as trouvé une distance entre le point et la droite qui égale à 5,37 ce qui est inférieur au rayon de la sphère qui vaut 6.
Ceci prouve qu’il existe des points de la droite à l’intérieur de la sphère donc qu’il y a des points d’intersection entre la droite et la sphère.
Est ce plus clair ?
Bastoune66

Re: dm produit scalaire et orthogonalité

Message par Bastoune66 » lun. 1 mars 2021 12:17

Oui, tout est bon merci beaucoup
Bonne journée
Invité

Re: dm produit scalaire et orthogonalité

Message par Invité » lun. 1 mars 2021 13:37

Bastoune66 a écrit :
lun. 1 mars 2021 00:13
Bonsoir,
J'ai finis mon exo par contre je sais pas quoi répondre à la 1)c et la 3)c.
Pour la 1)c j'ai trouvé que le vecteur était orthogonal au plan et que J n'appartenait pas au plan. Mais je ne sais pas quoi conclure.
Pour la 1)d j'ai trouvé que IK = 5,37 mais je ne sais pas quoi conclure aussi.
Merci d'avance
D'abord, AC.n =0 mais non 4.

n,u =0 : D est parallèle à P. Comme j de D n'appartient pas P alors D est strictement parallèle à P.
sos-math(21)
Messages : 8778
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: dm produit scalaire et orthogonalité

Message par sos-math(21) » lun. 1 mars 2021 15:55

Bonjour,
comme le dit Invité, si tu as obtenu que :
Pour la 1)c j'ai trouvé que le vecteur était orthogonal au plan et que J n'appartenait pas au plan
cela signifie que le vecteur directeur de ta droite est orthogonal au vecteur normal de ton plan donc ta droite et ton plan sont parallèles.
Comme le point J contenu dans la droite n'appartient pas au plan, le parallélisme est strict.
Bonne continuation
Bastoune66

Re: dm produit scalaire et orthogonalité

Message par Bastoune66 » lun. 1 mars 2021 23:54

Nickel
Merci beaucoup
Bonne continuation
sos-math(21)
Messages : 8778
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: dm produit scalaire et orthogonalité

Message par sos-math(21) » mar. 2 mars 2021 06:21

Bonjour,
Très bien.
Je verrouille le sujet.
À bientôt sur sos math
Verrouillé