Suite et matrice

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Chevenson

Suite et matrice

Message par Chevenson » mar. 23 févr. 2021 16:34

jour monsieur je vous envoie cet exercice que j’´ai à faire en dm et que j’ai beaucoup de difficulté . Est-ce que vous pouvez m'aider à le faire s'il vous plaît ? Parce que je l'ai pas du tout compris .
> PARTIE À
> Soit (Un) une suite définie par la relation de recurence : pour tout n appartient à N , Un+1=aUn+b avec a différent de 1 et b différent de 0 .
> 1) - résoudre dans R l'equation (point fixe) x=aux+b. On note q la solution
> 2) -on pose Vn=Un-q . Montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison a
> 3) -en déduire l'expression (Un) en fonction de Uo , a et b
> 4) - discuter en fonction de a, la limite de la suite (Un)
> PARTIE B
> Soit A une matrice carre d'ordre 2 et V un vecteur colonne de taille 2
> 1) - Donner un cas particulier d'un Matrice A t'elle qu'il n'existe pas de vecteur W telle que W=AW+V(*)
> 2) - on suppose que la matrice I-A est inversible, résoudre en exprimant (*) W en fonction de V et I-A
> 3) - on pose Yn=Xn-W verifier que Yn+1=AYn
> 4) - a) montrer que pour tout n appartient à N , Yn=A^n et W
> b) en déduire pour tout n£N l'expression de Xn en fonction de Xo,A^n et W
> 5) - on suppose que A est diagonalisable c'est à dire qu'il une matrice S inversible telle
SoS-Math(31)
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Re: Suite et matrice

Message par SoS-Math(31) » mar. 23 févr. 2021 16:51

Bonjour Chevenson,
Il faut surtout commencer par bien lire l'énoncé.
1) Tu dois chercher l'expression de x en fonction de a et b sachant que x = ax + b. C'est simplement résoudre l'équation.
Comme a différent de 1, tu trouveras x=\(\frac{b}{1-a}\)

2) Calculer v\(_{n+1}\) et trouver un nombre fois le terme précédent.
Invité

Re: Suite et matrice

Message par Invité » mer. 24 févr. 2021 00:10

Merci beaucoup
J’ai réussi la 1) et 2) de la partie A
Mais j’arrive pas à faire la 3) et la 4)
sos-math(21)
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Re: Suite et matrice

Message par sos-math(21) » mer. 24 févr. 2021 08:01

Bonjour,
tu as démontré que ta suite \(v_n\) était géométrique de raison \(a\) donc son expression explicite est \(v_n=v_0\times a^n\).
\(v_0=u_0-q\) donc \(v_n=....\).
Ensuite sachant que \(v_n=u_n-q\) on a \(u_n=v_n+q=\ldots\) : ce qui correspondra à l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
Ensuite il faut regarder la convergence de la suite en fonction de la valeur de \(a\) : il faudra distinguer le cas \(0<|a|<1\) et le cas \(|a|>1\).
Pour t'aider, tu peux consulter la page wikipedia consacrée aux suites arithmético-géométriques : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_ari ... 3%A9trique.
Bonne conclusion
Invité

Re: Suite et matrice

Message par Invité » mer. 24 févr. 2021 11:17

Merci beaucoup
Est-ce que je peux vous envoyer en photo l’énoncé de la partie B ??
Invité

Re: Suite et matrice

Message par Invité » mer. 24 févr. 2021 11:20

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Invité

Re: Suite et matrice

Message par Invité » mer. 24 févr. 2021 14:59

Pour la partie B
Je vous envoie en pièce jointe
Fichiers joints
EE249C29-A60D-46BE-8CDA-C7C953A9CB1F.jpeg
sos-math(21)
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Re: Suite et matrice

Message par sos-math(21) » mer. 24 févr. 2021 15:16

Bonjour,
pour la partie B, ton équation est équivalente à \((I-A)W=V\).
Une telle équation matricielle n'aura pas de solution en \(W\) si la matrice \(I-A\) n'est pas inversible.
En prenant par exemple \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\), tu as \(I-A=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\) qui n'est pas inversible.
Voilà pour le début. Y-a-t-il un endroit où tu bloques ?
Invité

Re: Suite et matrice

Message par Invité » mer. 24 févr. 2021 16:50

Bonjour
Est-ce que c’est la partie B1 ?
Pour donner le cas particulier de matrice À telle que
W=AW+V(*) , telle que W n’existe pas.
Si A est une matrice unité donc
W=W+V(*) car AW=W
W-W=V(*)
0=V(*)
donc W n’existe pas
Est-ce que c’est comme je peux faire la 1) de la partie b ??
S’il vous plaît
Invité

Re: Suite et matrice

Message par Invité » mer. 24 févr. 2021 18:10

Ah non
W=AW+V
W-AW=V
W(I-A)=V
Pour que W n’existe pas si I-A est nul
sos-math(21)
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Re: Suite et matrice

Message par sos-math(21) » mer. 24 févr. 2021 21:01

Bonjour,
attention ce n'est pas une histoire d'être nulle pour une matrice, mais simplement d'être non inversible.
Bien sûr une matrice nulle fonctionnera car elle est non inversible mais j'ai peur que par cette réponse ne soit le témoin d'une mauvaise compréhension de ta part.
Pour que ton vecteur \(W\) n'existe pas, il suffit que ta matrice soit non inversible (voir mon message précédent).
Bonne continuation
Invité

Re: Suite et matrice

Message par Invité » mer. 24 févr. 2021 23:48

Ahh d’accord
Du coup je peux répondre
Si I-A est non inversible alors W n’existe pas tel que
W=AW+V
Une fois je fais ça est ce que je peux donner un exemple ou bien je laisse comme ça si c’est bon
Invité

Re: Suite et matrice

Message par Invité » jeu. 25 févr. 2021 00:04

Pour la B2)
Je pose
W=AW+V
W(I-A)=V
J’exprime W en fonction de (I-A) et v
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Re: Suite et matrice

Message par sos-math(21) » jeu. 25 févr. 2021 06:24

Bonjour,
Si tu regardais les messages que je t’ai envoyés tu verrais que j’ai déjà répondu à ces questions.
Remonte le sujet jusqu’à mon message du mercredi 24 février à 15h16.
Bonne continuation
Invité

Re: Suite et matrice

Message par Invité » jeu. 25 févr. 2021 13:27

Bonjour merci beaucoup
Je fais la 3) et la 4) a) et b)
Mais j’ai pas compris la 5)