suite sumérique

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Invité

suite sumérique

Message par Invité » lun. 22 févr. 2021 21:41

Bonjour, SVP j'arrive pas à répondre à la 2eme question

Soit le suite (Un) définie sur IN tel que :
\(U_{0}=\sqrt{2}\) et \(U_{n+1}=\frac{1+\sqrt{1+{U_{n}}^{2}}}{U_{n}}\)
1) Montrer que pour tout entier naturel n ; \(\sqrt{2}\leqslant U_{n}\leq 1+\sqrt{2}\)
2) Montrer que pour tout entier naturel n ; \(\left | U_{n+1}-\sqrt{3} \right |=\frac{2\left | U_{n} -\sqrt{3}\right |}{\sqrt{1+{U_{n}}^{2}}-1+\sqrt{3}U_{n}}\)

ça doit se résoudre par récurrence je crois mais je ne trouve pas comment. merci infiniment
sos-math(21)
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Re: suite sumérique

Message par sos-math(21) » lun. 22 févr. 2021 21:55

Bonjour,
je te suggère de multiplier par l'expression conjuguée :
\(U_{n+1}-\sqrt{3}=\dfrac{1+\sqrt{1+{U_{n}}^{2}}}{U_{n}}-\sqrt{3}=\dfrac{1+\sqrt{1+{U_{n}}^{2}}-\sqrt{3}U_n}{U_{n}}\)
En mettant au même dénominateur et en multipliant par l'expression conjuguée :
\(U_{n+1}-\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{1+{U_{n}}^{2}}-(\sqrt{3}U_n-1)}{U_{n}}=\dfrac{\left[\sqrt{1+{U_{n}}^{2}}-(\sqrt{3}U_n-1)\right]\times \left[\sqrt{1+{U_{n}}^{2}}+(\sqrt{3}U_n-1)\right]}{U_{n}\times\left[\sqrt{1+{U_{n}}^{2}}+(\sqrt{3}U_n-1)\right]}\)
Le but étant d'utiliser l'identité remarquable \(a+b)(a-b)=a^2-b^2\) pour faire disparaître les racines carrées contenant \(U_n\) au numérateur.
Je te laisse poursuivre le calcul.
Bon courage
Invité

Re: suite sumérique

Message par Invité » lun. 22 févr. 2021 22:25

Oui et après simplification avec Un j'ai pu obtenir le résultat en utilisant les caractéristiques de la valeur absolue et le résultat de la 1eme question. je vous remercie beaucoup pour l'astuce trop génial et moi je croyais que je dois passer par récurrence et finalement la démonstration par récurrence n'est pas toujours la façon préférable pour ce genre de questions
Encore une fois merci j'ai beaucoup appris de vous.
sos-math(21)
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Re: suite sumérique

Message par sos-math(21) » lun. 22 févr. 2021 22:31

Bonjour,
la multiplication par l'expression conjuguée est une astuce qui sert souvent dès que l'on veut se débarrasser d'une racine carrée.
Il peut être intéressant de la connaître pour la suite de tes études.
Bonne continuation
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