Suites et congruences

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Maxime

Suites et congruences

Message par Maxime » jeu. 18 févr. 2021 21:21

Bonjour à tous
Si certains peuvent m'aider à mon exercice de maths ce serait pas de refus je ne comprend pas grand chose au chapitre.
Pour tout entier naturel n, on définit les entiers
An=6×5^n -2 et Bn=3×5^n +1
1.a. Montrer que, pour tout entier naturel n, chacun des entiers An et Bn est congru à 0 modulo 4.
b. Pour tout entier naturel n, calculer 2Bn-An.
c. Déterminer le PGCD de An et Bn.
2.a. Montrer que B2020=(congru) 3×2^2020 +1 (7).
b. En remarquant que 2020=3×673+1, montrer que B2020 est divisible par 7.
c. L'entier A2020 est-il divisible par 7? Justifier la réponse.

Je pense avoir trouver qqch de correct pour la 1 mais rien de sûr.
sos-math(21)
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Re: Suites et congruences

Message par sos-math(21) » jeu. 18 févr. 2021 21:43

Bonjour,
pour la première question, je te suggère de faire une récurrence "simultanée" en montrant la propriété \(\mathcal{P}_n\) :
\(A_n\) et \(B_n\) sont congrus à 0 modulo 4.
L'initialisation se fait bien
Pour l'hérédité, il faut chercher à faire apparaître \(A_n\) dans \(A_{n+1}\) :
on peut écrire \(A_{n+1}=6\times 5^{n+1}-2=6\times 5^n\times 5-2=(6\times 5^n-2+2)\times 5-2=(A_n+2)\times 5-2=5A_n+10-2=5A_n+8\)
Si \(A_n\) est divisible par 4, alors \(A_{n+1}=5A_n+8\) l'est aussi.
C'est le même type de démarche pour l'hérédité de \(B_n\).
Je te laisse rédiger proprement cette récurrence et on verra la suite dans un deuxième temps.
Bonne continuation
Invité

Re: Suites et congruences

Message par Invité » jeu. 18 févr. 2021 22:03

D'accord, merci
J'ai bien trouvé la bonne réponse.
Est-ce que je dois m'aider de la question a pour répondre à la b ?
sos-math(21)
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Re: Suites et congruences

Message par sos-math(21) » jeu. 18 févr. 2021 22:07

Bonjour,
pour la question b) c'est un calcul direct indépendant du a) qu'il faut faire.
Calcul pour tout entier naturel \(n\), \(2B_n-A_n=2\times (3×5^n +1)-(6×5^n -2)=\ldots\).
Les questions a et b devraient ensuite te permettre de trouver le pgcd de \(A_n\) et \(B_n\), question c.
Bonne continuation
Invité

Re: Suites et congruences

Message par Invité » jeu. 18 févr. 2021 22:10

Je ne comprend pas en quoi les questions a et b m'aideront pour la c ?
sos-math(21)
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Re: Suites et congruences

Message par sos-math(21) » jeu. 18 févr. 2021 22:15

Bonjour,
la question a te permet de dire que 4 est un diviseur commun à \(A_n\) et \(B_n\) car ces deux nombres sont tous les deux divisibles par 4 le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) est divisible par 4, car tout diviseur commun à deux entiers est un diviseur de leur PGCD.
Si tu notes \(d\) le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) alors \(d\) divise \(2B_n-A_n\). Or ce nombre a été calculé dans la b) (tu as dû trouver 4) donc \(d\) divise 4. Finalement on a \(4\mid d\) et \(d\mid 4\) donc \(d=4\).
Les deux questions ont bien servi à montrer que le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) est 4.
Bonne continuation
Invité

Re: Suites et congruences

Message par Invité » jeu. 18 févr. 2021 22:44

Merci beaucoup
J'ai réussi jusque là et même la question 2a.
Je suis cependant bloqué à la 2b, pouvez-vous m'aider ?
sos-math(21)
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Re: Suites et congruences

Message par sos-math(21) » ven. 19 févr. 2021 08:33

Bonjour,
tu viens de montrer que : \(B_{2020}\equiv 3×2^{2020} +1\,[7]\)
En remarquant que \(2020=3\times 673+1\), tu as \(2^{2020}=2^{3\times 673+1}=\left(2^3\right)^{673}\times 2\), montrer que B2020 est divisible par 7.
Or \(2^3\equiv 1\,[7]\) donc \(\left(2^3\right)^{673}\equiv 1\,[7]\) et on a finalement \(2^{2020}=2^{3\times 673+1}=\left(2^3\right)^{673}\times 2\equiv 2\,[7]\).
Donc tu peux conclure quant à la divisibilité de \(B_{2020}\) par 7.
Bonne continuation
Invité

Re: Suites et congruences

Message par Invité » ven. 19 févr. 2021 09:58

Merci, j'ai tout compris.
sos-math(21)
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Re: Suites et congruences

Message par sos-math(21) » ven. 19 févr. 2021 09:59

Tant mieux,
Pour la dernière question, pour montrer savoir si \(A_n\) est divisible par 7, il faut utiliser le fait que le PGCD de \(A_n\) et \(B_n\) est égal à 4.
Je verrouille donc le sujet.
À bientôt sur sos-math
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